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pleto misto ai differenziali totali, nel quale le prime (C) sono 



u 



relazioni (lineari) finite fra le dette funzioni. Ora il sistema (C) è lineare 

 omogeneo con coefficienti costanti., e per la stessa ragione addotta al n. 5, 

 se ne avranno con sole operazioni algebriclie gli integrali generali ij; con- 



n{n-[- 1 ) 



tenenti, linearmente ed omogeneamente, — — — - costanti arbitrarie. Così- 



calcoleremo in effetto, senza alcuna integrazione, le r = 1) ^^.^sfor- 



mazioni infinitesime 



(18) X,/,X,A...X../ {r = ^^^) 



generatrici del gruppo di movimenti. 



9. Ottenuto questo primo risultato, arriviamo rapidamente al nostro 

 scopo, isolando innanzi tutto fra i movimenti X/' le traslazioni infinitesime^ 

 che sappiamo essere in numero di n indipendenti, diciamo 



(U) (/fc = l,2,...r^). 



Per questo basta fare, rispetto ad un punto qualunque {xf^) fisso sullo- 

 spazio, la distribuzione canonica delle r trasformazioni infinitesime (13), 

 a seconda dei loro ordini, ciò che si ottiene con semplice risoluzione di 

 sistemi lineari; ed allora avremo n trasformazioni d'ordine zero, che saranno 



precisamente le traslazioni cercate (14), e le residue daranno le 



a 



rotazioni infinitesime attorno al punto. 



Calcolate cosi le Z^j/, osserviamo che queste non sono legate fra loro 

 da alcuna relazione lineare a coefficienti costanti o variabili (il determinante 

 delle Cf* è diverso da zero) ; inoltre esse soddisfano alle relazioni di com- 

 posizione (Zft,Zi)/'=0 e generano il gruppo Abeliano G„ delle traslazioni. 

 Applichiamo ora i teoremi generali di Lie sull'integrazione dei sistemi com- 

 pleti, che ammettono note trasformazioni infinitesime. 



Osserviamo p. es. che le n — 1 equazioni simultanee a derivate parziali 



(15) Z2/-=0 , Z3/=0 , ...Z„/=0 



formano un sistema completo (Jacobiano), che ammette la trasformazione- 

 infinitesima Zi/. Esiste per ciò una soluzione del sistema (15) [invariante 

 del gruppo G„_i — (Zg/, Z3/, ... Zn/")], e detta m una tale soluzione, risulta 

 TaiU una funzione della u non nulla. Possiamo quindi normalizzare la u 

 in una soluzione Ui tale che sia ZjWi = 1, e dalle n condizioni compatibili. 



Zi Mi = 1 , ZoMi = 0 , ... Z„Wi = 0 , 



