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essendo jff |=j=0, si traggono tutte le derivate — - , per ciò si avrà con 



una quadratura. In generale con n quadrature determineremo n funzioni 

 delle X tali che si abbia 



(16) TjuUì = £Hì 



e queste n funzioni fra loro necessariamente indipendenti, perchè dalle (16) 

 risulta — ^^ -.^i ■> ■•• _|_ potranno essere assunte come nuove variabili. 

 In queste variabili u la Z^/ diventa, a causa delle (16). 



,• òUi àUk 



e corrispondentemente la nostra forma differenziale si trasformerà nella nuova 



'i...n 



^bik dui duk, coi coefficienti bik costanti, come risulta p. es. dalle equa- 



ik 



zioni di Killing, la forma ammettendo qui le trasformazioni infinitesime 

 /_V JV\ ^Qg-j abbiamo il ds^ dello spazio ridotto, come si vo- 



■leva, in coordinate cartesiane, che risulteranno in generale oblique, e po- 

 tranno subito trasformarsi in ortogonali. Volendo ottenere il ds^ già sotto 

 forma ortogonale, basterebbe del resto cangiare le Z^/ in n loro combina- 

 zioni indipendenti che rappresentino n traslazioni secondo le direzioni di 

 •una ortogonale, per modo che le nuove Z^/ soddisferanuo alle condi- 

 zioni V tft' = 0 per r =j= s . 



ih 



Con questo primo metodo la riduzione della nostra forma differenziale 

 ds^ = Y aik dxi dxk , a curvatura nulla, e con valori costanti pei simboli 



Ik 



} [ , al tipo normale t/s* = dyì + dyl + ■ • — f~ effettua con n qua- 



drature. 



10. Un secondo metodo, che ora passiamo ad esporre, ci permette di 

 -arrivare più brevemente allo scopo e di risparmiare le quadrature. Per questo 

 ricordiamo che, ogni qualvolta la forma differenziale 



1 .^i 



ds^ = >_ «jft dxi dxk 



ih 



è a curvatura nulla, formano un sistema completamente integrabile le 

 — ^ — — — - equazioni del secondo ordine (ved. Lesioni, voi. 1. § 185) 



-(17 — — — = ^ j — 2 , ^ = 1 , 2 , ... «) , 



