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e la soluzione generale U contiene, linearmente ed omogeneamente, n-\-l 

 costanti arbitrarie, i valori iniziali della U e delle sue n derivate prime. 



Nel caso nostro le (17) sono a coefficienti ì ^ > costanti, e però l'integra- 

 zione si eSettixa con sole oj^erasioni algebriche. D'altra parte se U,V sono 

 due qualunque soluzioni delle (17), si ha {Lesioni, loc. cit.) 



V(U,V) = cost, in particolare AiU = cost. 



Prendiamo allora n soluzioni particolari t/i jt/^ •■• Un delle (17), disponendo- 

 dei valori iniziali per modo che si abbia 



(18) Al ìli = 1 , \/{yi , yn) = ^ih • 



Queste n funzioni «/i , |/2 , ... y» sono fra loro indipendenti (^), ed assumen- 

 dole a nuove variabili la forma differenziale si riduce al tipo normale: 

 ds^ = dì/i -j- dijl + • • ■ -f- dyl , a causa appunto delle (18). 



Concludiamo dunque: Data una forma differenziale in n variabili a 

 curvatura nulla, e con valori costanti pei simboli di Ghristoffel^ la sua 

 riduzione al tipo normale 



ds' = dy\ + H h (J-yl 



si effettua con sole ojteraziom algebriche. 



Per mostrare in un esempio l'applicazione di questi risultati generali, 

 prendiamo il caso della forma differenziale ternaria, corrispondente, nella 

 tabella del n. 7, al sistema commutativo di numeri a tre unità del tipo I). 

 Qui il sistema differenziale (17) diventa 



— ^ = 0 , — ^ = 0 , — ^ = — 



'^OOi ~^X'2 ^*^3 ^00^ 



~^0C\ 'i)X2 ~Ì)X] 7*^3 ~1)X\ ~^X^ 1)«3?2 



la cui soluzione generale si calcola subito in 



(19) U = e^»(<?,Xi 4- ("sX'a -j- fa) + ^4 



con le quattro costanti arbitrarie Ci , C2 , c^a , C4 , delle quali le prime tre sono 



(') Geometricamente è chiaro che le yi,y^,-..yn sono indipendenti, perchè le 

 j/i = cost sono le equazioni di n sistemi di iperpiani paralleli, due a due ortogonali. 

 Algebricamente risulta da ciò che, per le (18), il valore del determinante formato cogli 



elementi Pih = H Ars 7 — e eguale all'unità; esso si risolve d'altronde nel prodotto 



del determinante \Ars\ pel quadrato dal Jacobiano " , che è dunque di- 



verso da zero. 



