logico i, non considerato da Russell, è stato introdotto genialmente da Peano 

 ed è di capitale importanza logica. 



La dimostrazione della condizione {a ,b) — {a\b') rimane invariata 

 (n. 6, pp. 411, 412), come pure rimangono invariate le altre considerazioni. 



L'unica trasformazione che faccio alla prima Nota è dunque questa: 

 pongo ora [la prima delle (1)] 



(a , b) a = a 



in luogo della 



(2) {a,b)a — ia 



che avevo posta prima. 



La ragione del cambiamento è facile a vedersi. Le (1) ove al posto 

 della prima si ponga la (2), sono simmetriche rispetto ad a e è e quindi 

 risulterebbe [a^b) = {b.a) anche per a=^b. Con le (1) invece si ha 



(b,a)a = ia , {b , a) b = b , {b , a) a; — la v ib 



e quindi {a , b) =^ {b , a) quando sia a=^b. Si noti che ponendo le (1) 

 senza la condizione a^b , allora per la coppia {a , a) si avrebbe {a ,a)a = a, 

 ovvero {a,a)a = ia secondochè l'elemento a cui si applica è \V primo o 

 il secondo della coppia; nè a togliere tale assurdo varrebbe affermare che, 

 per definizione, si è ammesso che {a ,b) è l'operatore identità soltanto 

 quando è applicato al primo elemento di {a , b). 



Si può notare che nella dimostrazione, già citata, della condizione 

 [a , b) = {a! ,V) , si è implicitamente fatto uso della (1), poiché abbiamo 

 distinto il primo dal secondo elemento della coppia, non soltanto come ele- 

 menti, ma proprio come occupanti, rispettivamente, il primo e secondo posto; 

 era però necessario togliere ogni equivoco logico formale il che si ottiene 

 facilmente mediante l'operatore logico i e le sue potenze. 



Matematica. — Hamiltoniani e gradienti di formazioni esten- 

 sive neW Analisi generale di Grassmann. Nota di A, Del Re, 

 presentata dal Socio Y. Volterra (0. 



In due Note successive dal titolo comune: Gli hamiltoniani ed i gra- 

 dienti nell'analisi generale ad n dimensioni di Grassmann presentate 

 nelle sedute dei giorni 1 ed 8 del mese di luglio u. s. della R. Accademia 

 di Napoli, e che compariranno nel fase, luglio-agosto dei Rendiconti di essa, 

 io ho definito certi operatori per uno spazio ad n dimensioni di Grassmann, 

 e per funzioni scalari, che ho chiamati hamiltoniani e gradienti (anche, risp. 

 derivate esterne e derivate interne)', e la cui opportunità e portata ho messo 



(=) Pervenuta all'Accademia il 23 settembre 1916. 



{') Tali Note verranno, nel seguito, indicate rispettivamente con N I, N II. 



