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e) È da mettersi in rilievo, come conseguenza delle precedenti espres- 

 sioni date per VnU e G^U, quanto appresso: 



1°) VnU è una funzione estensiva di specie 7i-\- \ — Q -\- quando 

 Q^a, è ìina funzione scalare quando q = a , ed è una funzione esten- 

 siva di specie e — q quando q <C (T ; 



2°) U è una funzione estensiva di specie Q -\- o quando è 

 Q -\- a -c^i n -\- \ , è una funzione scalare quando q -\- (S = n -{- 1 , ed è 

 una funzione estensiva di specie Q a — n — 1 quando q -\- g'^ n -\- \. 



Questi enunciati concordano perfettamente con quelli dati al n. 2, b) 

 della Nota II, quando una funzione scalare si consideri come estensiva di 

 specie (ordine) 0, nel qual caso è e = 0 , o come estensiva di specie n-\-l 

 (pseudo-scalare), nel qual caso e G = n-\^1. Ed ove si considerino i casi 

 di ^ = 0, Q = n -\- 1 , i quali corrispondono all'essere la O. una variabile 

 scalare, o pseudo scalare, gli enunciati precedenti restano applicabili, per 

 o'=4=0, alle derivazioni {esterne, o interne) di funzioni estensive rispetto a 

 variabili scalari, o pseudo-scalari; e per e — 0 alle derivazioni ordinarie 

 di funzioni scalari. Così, ogni funzione, sia scalare o pseudo-scalare, sia 

 estensiva, ha il suo ìiamiltoniano ed il suo gradiente anche rispetto a va- 

 riabili scalari, o pseudo-scalari; e questi si confondono, a meno della mol- 

 tiplicazione per Bi 6% ... Bn+i del VU quando q — Q o del GU quando è 

 Q = n -\- \ con la derivata ordinaria di U se U è scalare, e con la deri- 

 vata di U quale venne definita nella formula (6), quando U è estensiva. 



3. a) Se nelle formule (17), (19) in ciascuna delle quali si può im- 

 maginare racchiusa la (18), col ritenere la (17) per a ^ q , e la (19) per 

 o'>'(>, poniamo, al posto di la formazione supplementare |0; siccome 

 allora si dovrà cambiare q' m q , e viceversa, si avrà: 



(23) VinU = (— 1)P» (A,n . F, + V,a . P, H \- V,n U, . F,) 



se Q-\-(J^n-\-l\ 



(24) VinU = (- l)P'<''(V|nU. .F, + V|nU^ . F, H (- VinU^.F^) 



se Q -\- a ^ n -\- \ . 



Ora, dalle formule (14) della N II, poiché U, , U2 , ... , U,y sono funzioni 

 scalari, si ha, per A = 1 , 2 : 



(25) VinU,= GaU,; 

 dunque sarà: 



(aS') V,a U = (— \r (Gn U, . F, + Gn U, . F, + • • • + Gn U, . F, 

 quando q ~\- ù -{• 1 , Q 



