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(24') v,n U = (- 1 )P'^'{Ga U, . + . F, H h U, . F,) 



quando q ^ n-{- 1 . 



Confrontando con le (20), (21), (22) si deduce, qualunque sia il caso,. 



(26) VirxU = G^U; 



epperò: pure per fmsioni estensive, il gradiente rispetto ad una data 

 formazione può essere definito come V hamilioniano rispetto alla forma- 

 zione supplementare (cfr. Nota li, n. 2, h). 



b) Se, nelle (20) , (22), ciascuna delle quali può essere considerata 

 come abbracciante la (21), si cambia O. in j O , si avrà, dovendosi allora 

 cambiare pure q con q : 



Gin U = (— lP'MG,nU, . F, + G|^U, . F, + • • . + G|nU,. F,) 

 per -f- 0" <. w -{- 1 ; 



Gin U = (- 1)P«' (G| ^ U. . F, + G,a U, . F, + • • • + G|n U, . F,) . 

 per + (/> n-\-\ . 



Ora, dalle (15) della N II si rileva che, essendo Ui , , .,• i fun- 

 zioni scalari, è, per 72 = 1 , 2 , ... , 2' : 



G|nU, = (-l)P?'VaU,; 



dunque sarà: 



G,n U = (— l)PP'-?'« (Vu . F, + Vn U, . F, H f- Vn . F,) 



se q -j- e < -j- 1' 6 



(27)' 



G,a U = (- 1)PP'-P<" (Vn . F, + Vn U. . F^ H 1- Vn 0, . F,) 



se -f- > w -|- 1 . 



Dal confronto con le (17), (18), (19) segue essere: 

 (28) G,nU=:(— l)PP'VnU; 



epperò: come per le funzioni scalari [cfr. le (15), N. Il], così per le esten- 

 sive, il gradiente di una funzione U rispetto alla formazione supplementare 

 di una data O eguaglia V hamiltoniano di U rispetto ad O, moltiplicato 

 per ( — 1)PP' {q e secondo il significato innanzi stabilito sono, rispettiva- 

 mente, l'ordine di O e della supplementare). Anche per U estensiva saranno 



adoperati alle volte i simboli ? 4^ in luogo di VnU,GaU. 



4. Non è possibile qui, per la ristrettezza dello spazio consentitoci, 

 presentare altre proprietà degli operatori introdotti, nè di far cenno dell'in- 

 teresse che essi presentano nelle applicazioni, mettendo in evidenza qualche 

 esempio speciale. Ciò sarà oggetto, io spero, di comunicazioni ulteriori. 



