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Matematica. — Derivazione ad indice qualunque. Nota I della 

 dott/"'' Angela Maria Molinari, presentata dal Corrispondente 

 E. Almansi ('). 



Non è nuova l'idea di voler estendere il concetto di derivazione anche 

 per un indice frazionario: Leibniz ne dà un primo accenno; Eulero (*) ha 

 scritto qualche pagina, che Lacroix richiama nel suo Traité de cahul diffé- 

 rentiel [Traitè III (1819), pag. 409], riportate anche da Liouville nella 

 Memoria Sur le théorème des fonctions complémentaires (1834); un altro 

 cenno si trova pure nelle opere di Laplace Sur les j/robabilités; Lagrange 

 (Berlin, Mém. 1772, pag. 186) predisse che la derivazione generalizzata 

 sarebbe stata la base del calcolo dell'avvenire. Fourier, nella sua Théorie 

 analytique de la cìialeur^ indica una formula generale che considera come 

 atta a trasformare in integrali doppi i differenziali ad indici qualunque. 

 A Liouville, però, si deve l'aver mostrato più ampiamente alcuni partiti 

 che si potevano trarre dal calcolo diiferenziale generalizzato (^). 



Liouville parte, nella sua Memoria Sur quelques questions de géometrie 

 et de mécanique et sur un nouveau genre de calcul pour resondre ces 

 questions (1832), dalla formula 



y = 2km e*"^ 



suppone dunque una tunzione y sviluppabile in serie (o integrale esponen- 

 ziale) e, dopo aver posto 



dt^ 



ne ricava 



(1) V)V-y = 2kmm\^e'^'' 



che definisce per lui la derivata ad indice qualunque. Ad esempio 



■ 1 



y = — = \ e "^"^ da x^O 



^00 



0 



my= r V*^(— «)f^ j»>0 



' {{.i qualunque 



ma 



Xoo 

 e~^dV-~^dQ, dunque, posto 6 = ax , 



1 (— i)f^r(i; + i) 



X xV--* 



(') Pervenuta all' AccaiJemia il 18 settembre 1916. 



(^) De progressionibus trascendentibus sen quarum termini generales algebraice 

 dari nequeunt. 



(") Cfr. le Memorie contenute nel XXI Cahier del Journal de l'École Polytecnic[ue 

 (1832-1837). 



