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In una Memoria seguente (1834), Memoire sur le théorème des fonctions 

 complément.aires, Lioiiville parte invece dallo sviluppo della funzione secondo 

 le potenze negative della variabile indipendente, 



e definisce 



(2) Df-y=(i)f^2 ^"^l^+^^ P'°;'^' (^+^n- 



^ ' V / pi^^-^ ^n+iL |_reali, positivi J 



La definizione data da Liouville nella prima Memoria e quella riportata 

 ora non sono indipendenti l'una dall'altra; Liouville mostra effettivamente 

 come dalla (1) possa dedursi la (2); in modo analogo, definito il D(* nel 

 caso di una funzione sviluppabile in serie di potenze, è possibile ricavare 

 la (1) da applicare quando la funzione è sviluppabile in serie esponenziale. 

 La difficoltà più grande, aggiunge il Liouville, consiste nel trovare una 



formula analoga alla (2), che dia il valore di Df*— per tutti i possibili 



valori di n e ài fi. 



11 Laurent (nel III voi., pag. 487 del suo Traité d'Andy se) dà, come 

 definizione della derivata d'ordine n della f{z) monògena (analitica), nel 

 punto X presa a partire da un punto x^, l'integrale: 



f{s) ds^i 



2m J«,(^ — 



xY 



nel campo complesso, lungo un cappio a bordi rettilinei che parta da 

 e vi ritorni, dopo aver girato con un cerchietto intorno al punto x. La 

 derivata della /'(^) non è, in generale, monodroma intorno al punto ^, i 

 suoi diversi valori, che possono anche essere in numero infinito se w è incom- 

 mensurabile, si permutano gli un gli altri intorno al punto x che è un 

 punto critico. Il Laurent osserva che questa sua definizione, nel caso di n 

 negativo, si confonde con quella data da Letnikof nel 1874 in un giornale 

 russo. Per n<iO V integrale preso lungo il cappio ha valore zero ; il suo 

 valore lungo il primo bordo è: 



rjn + i) f{x)ds 



27r? J^^ {s — a;)"*! ' 



il suo valore preso lungo l'altro bordo (dopo aver girato intorno al punto 

 critico x) è : 



2m X„ {g — xY 



