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tante volte quant' è l' intero immediatamente inferiore ad n ; per n negativo 

 il campo dovrebbe comprendere tutte le funzioni integrabili). 



2°) La formula che definisce D"f{x) sia possibilmente analitica in n. 



B**) D" si riduca alla derivazione e integrazione ordinaria per n intero. 



4°) D" sia operazione distributiva, cioè 



D"(fl!9) + bxp) = aD'^tp + b D"xp . 



50) D*"-^"/!^) = D" f{x) = T>" D"» f{x) = D"^»» f{x) . 



Nel cercare altre condizioni ed una definizione di D" occorre tener 

 conto della possibile pluralità dei valori, pluralità che ha formato lo scoglio 

 delle ricerche precedenti. La pluralità si verifica già nel caso di n intero, 

 negativo; non è possibile dunque prescinderne. Per esempio, noi abbiamo 

 che D~^(0) non è necessariamente zero, ma zero più una costante arbitraria ; 

 così ef*' = 9)"^ e'f* + cost. arb. e via via. Non è quindi il caso di porre 

 condizioni come 



e?' = 9)"e<P' 



le quali escluderebbero certe pluralità di soluzione e contradirebbero con le 

 convenzioni usuali del calcolo, convenzioni che hanno una ragione d'essere 

 pratica molto importante per la risoluzione delle operazioni inverse. Dovremo 

 prevedere invece che 



B'^fix) 



sarà, in generale, esprimibile per mezzo di due parti ; una parte conven- 

 zionalmente assunta come principale, e l'altra funzione complementare 

 contenente le eventuali costanti 0 funzioni arbitrarie; quindi la 4^ condi- 

 zione dovrà intendersi solo purché si tenga conto opportuno della parte 

 complementare. In armonia alla 3* condizione le arbitrarie dovranno sempre 

 sparire quando n è intero positivo. 



Questa distinzione, fra il valore principale e la parte contenente le 

 arbitrarie, era già stata accennata da Liouville senza però tenerne conto 

 nelle sue formelle generali ('). 



In una Nota successiva esporrò, per ora limitatamente a quanto riguarda 

 la ricerca del valore principale, una formula di definizione atta a soddisfare 

 le condizioni imposte. 



C) Gfr. Liouville, Mémoire sur le théorème des fonctions complémentaires. Journal 

 de Créelle (1834), B. XI, pp. 1-19. 



Rkndiconti. 1916, Voi. XXV, 2" Sem. 



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