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Matematica. — Proprietà generali degli hamiltoniani e dei 

 gradienti nell'analisi ad n dimensioni di Grassmann. Nota I di 

 A. Del Re, presentata dal Socio V. Volterra (^). 



Facendo seguito alla mia precedente Nota: Hamiltoniani e gradienti 

 di formazioni estensive ecc. (^) ed alle due Note dei Rendiconti del mese 

 di luglio della R. Acc. di Napoli, che ivi ho indicato con N I, N II, tratto 

 qui di certe proprietà generali che collegano i due tipi di operatori; e vi 

 introduco la nozione di divergenza per ogni funzione a più variabili nella 

 qualità di hamiltoniano, o gradiente, particolare. Tratto, inoltre, del modo 

 di comportarsi dei due operatori, rispetto al prodotto di due funzioni. 



1. a) Vennero già notate nella precedente Nota le due relazioni signi- 

 ficate dalle formolo (26), (28) di essa, sussistenti fra gli hamiltoniani e 

 gradienti di una stessa funzione U, ed intendiamo, senza ripeterle, che siano 

 qui tenute presenti. Ora, se, riferendoci alle formule (17), (18) per 



-\- (S ^ n -\- \ , ^ -\- 1 risp., 



ed alle formule (21), (23) rispettivamente per 



della stessa Nota, prendiamo le formazioni supplementari delle V^U , Gr"U, 

 noi troviamo: 



|VnU = (-l)P'' X |VaUft|F, = (— 1)P'<^ • "^G^JJh 



(1) 



(2) 



h^l h=l 



se (>' + 0" < /^ -f- 1 , 

 I VaU = (- ly^^' 1 I V^U, 1 F, = (— 1)P" • Ta^TJn \ 



h=l ft=- 



se q' -\- G ^ n 1 , 



h=q h=q 



I Ga P = (- Z I Gft I Fft = (- 1)PP'-P'' y Gft ¥h 



h-l h=l 



se (>-j-o'<«-{-l, 



h=q h=q 



I Gn U = (- 1 y I Gk Uft I F, = (— 1)P'''-PP' 1 Gft U, I Fn 

 se 'Q -\- ^ n -\- 1 ; 



Pervenuta all'Accademia il 23 settembre 1916. 



Questi Rendiconti, voi. XXV, serie 5% 2° sem., fase. 6°, 1916. 



