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perchè, dall'essere le U;^ {h = 1 , 2 , ... , q) funzioni scalari, hanno luogo 

 le (14) , (15) della Nota IL D'altro canto, se nelle (23') , (24') della Npr. 

 (così indicheremo la Nota cit., alla quale la presente fa seguito) mutiamo 

 U in |tJ, con che si dovrà cambiare anche e in e', e viceversa, abbiamo 



|V,n|U = (— l)P"y G;.Uft|Fft se ?+(y'<^ + l, 



cioè se q' -\- a > n -\-\ \ 

 |V|n|U = (-l)P'<^y G,:Uh|F, se ^' + 0- </2-|-l, 

 cioè se q -\- a' ^ n-\-\. 



Confrontando la 2* delle (1) con la 1* delle (3), e la prima delle (8) 

 con la 2* delle (1), si ha, in ogni caso, 



(4) IVnU = V,^lU. 



b) In modo analogo, cambiando nelle (27) U in |U, si ha: 



G|^i|U = (— l)PP'+P'"*£VfìU,,|F;, se Q'-\-a' ^n-\-\, cioè se Q-\-<s^n-\-\ 

 G^inlU = (— 1)PP'-P' XVnU;,|Fft se ^' + <t'>w+1, cioè se q-\-(J ^n-\-l ; 



h=l 



e, dal confronto di queste con le (2), segue in entrambi i casi : 



(5) !GaU = G,n|U. 



I risultati forniti dalle (4) , (5) si enunciano in linguaggio ordinario 

 dicendo : 



La funzione supplementare dell' hamiltoniano {o del gradiente) di 

 una funzione U, rispetto ad una formazione coincide con l' hamilto- 

 niano (o col gradiente) della funzione supplementare di U, rispetto alla 

 forma.sione supplementare di O. 



c) Tenendo presenti le (25) , (26) della Npr., dalle (4) , (5) rispettivamente 

 deduciamo : 



|VnU = Gn|U . .. (6) , |GaU = (— 1)PP'V^|U ... (7); 



vale a dire : 1°) la funzione supplementare dell' hamiltoniano di una fun- 

 zione U, rispetto ad una formazione O, coincide col gradiente della fun- 

 zione supplementare di U, rispetto ad O. ; 2°) la funzione supplementare 

 del gradiente di una funzione U, rispetto ad una formazione XI , coincide 

 con l' hamiltoniano della funzione supplementare di U, rispetto ad Xl, 

 moltiplicato per ( — 1)PP' {q e q' essendo, al solito, gli ordini di O e di |0). 



