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Dalle (6) , (7) applicate successivamente deduciamo: 



(8) Il VnU = I (Gal^) = (- 1)PP' V^IIU = (- 1)PP'--' VnU 



(9) Il U = (- 1)PP' 1 (Vn I U) = (- 1)P?' Gn II U = (- l)PP'-«<'' Ga U ; 



vale a dire: il supplemento del supplemento dell' hamiltoniano {del gra- 

 diente) di una funzione U di ordine e , rispetto ad una formazione O. di 

 ordine p, coincide con l' hamiltoniano [col gradiente) di U rispetto ad O, 

 moltiplicato per (— l)PP'+i<'' . 



d) Le formule da (4) a (9) contengono evidentemente le (14), (15) 

 della NII. Per passare dalle (4) , ... , (9) alle corrispondenti relativamente 

 ad U scalare, e pseudo-scalare, basta fare in esse o' = 0, o (T= — 1, con 

 che G'=n-\-\ — (S diventa, rispettivamente, n-{-\ o 0. 



2. a) Fra i varii hamiltoniani e gradienti di appartenenza ad una data 

 funzione U , sono da mettersi in rilievo gli scalari ed i pseudo-scalari. 

 Dai due teoremi dati al n. 2, e) delia Npr. risulta che un hamiltoniano 

 ed UD gradiente sono numerici se, rispettivamente (» = o', o q -\- a = n -\- \ . 



Fra i valori che possono prendere q q a compatibilmente a queste con- 

 dizioni, vi sono quelli di ^ = o' = 0, o q = a=^n-\- \ nel 1° caso; e di 

 ^ = 0 con a = n -\- \ , o (> = /^ -j- 1 con e = 0 nel 2° caso. Questi sistemi 

 di valori di e o" dànno, rispettivamente, per un hamiltoniano, uno pseudo- 

 scalare ed uno scalare; e, pei- un gradiente, uno scalare ed uno pseudo-sca- 

 lare ; i quali, allorché sia fatta eccezione del prodotto delle unità fondamen- 

 tali che interviene negli pseudo-scalari, si riducono tutti alta derivata ordi- 

 naria di una funzione numerica rispetto ad una variabile pure numerica. 

 Esclusi questi casi, per avere hamiltoniani numerici, bisognerà che l'ordine a 

 della formazione U sulla quale si opera, sia quanto l'ordine q della forma- 

 zione n, rispetto alla quale si opera, ed entrambi distinti da 0 , o da n-\-\\ 

 e per avere gradienti numerici bisognerà che e e e, distinti entrambi da 0 

 0 da n-\-\ ^ siano complementari ad n-\-\. 



b) Quando (» = o', le F, , Fj , ... , F^ sono le stesse E, , E2 , ... , 

 {q = m); ed allora a parte il fattore ( — l)PP' [cfr. form. (15) , (18) Npr."], 



Vn U„ . F, = Vn . E, = 

 ^ (- 1)PP' ( V ^ I eA e. = (- 1)PP' I E. . E. E, I E. = ^ ; 



per cui, sommando da h=l ad h = m, si avrà: 



(10) VnU = (-l)PP'(^'+^^ + .-. + ^). 



