— 237 — 



Il 2° membro della (IO) sarà detto, senz'altro, divergensa della fun- 

 zione U; ma si intenderà che resti sottinteso il significato d'origine quale 

 hamiltoniano della U rispetto ad una formazione d'ordine eguale all'ordine 

 di U. Che se questa formazione è proprio la U stessa (interessa metterlo 

 in rilievo) viene: 



(11) V.U = (— l)PP'm. 



c) Quando q -\- cr = n ~\- ì , sicché a =n-\-\ — q = q , fra le E, vi 

 saranno delle E,, , E,-, , .. , Ei„ per le quali si suppone essere P, = |Ej, , 

 Fa = I , ... , = I Ei„, (anche in questo caso è q = ni)\ ed allora: 



GnU. . F, = E. + E. + . . . + ^ E J I E,, = 



Ne segue, sommando da h = l ad h = m, e moltiplicando per ( — 1)pp': 



(12) GnU = (-l)PP'(^ + ^ + --- + ^V 



Questa (12) suppone scritta, per U. la Uj | E,-, -{- ; E,,, -f- • • ■ che è 

 la funzione supplementare della V = Ui E,, -f- E,-^ • -|- Um Ei„,; e 

 questa è del medesimo ordine q = g' della Ci; sicché v^Y = { — l)PP'G|nV= 

 = Gr^l^' cioè la divergensa d'una funsione U d'ordine q, valutata quale 

 hamiltoniano rispetto ad una formazione qualsiasi del medesimo ordine, 

 eguaglia il gradiente, moltiplicato per ( — 1)PP', della funzione U rispetto 

 alla formazione supplementare', ovvero, uguaglia il gradiente della fun- 

 zione supplementare di U, rispetto a quella medesima prima formazione. 

 Applicando questo enunciato al caso in cui per O si prende U, si ha, insieme 

 alla (11): 



(11') Go|U=(— l)PP'.w , G^JJ = m. 



d) Affinchè, per una medesima data funzione estensiva (per la quale 

 l'ordine rimane da ciò stesso prescritto) tanto 1' hamiltoniano quanto il gra- 

 diente siano funzioni numeriche, bisognerà che, contemporaneamente, sia 



(13) ^>-|-o■ = /^^-l , Q = G ; cioè q = (J = — ^ — . 



Ora ciò non è possibile che per gli spazi ad un numero dispari di dimen- 

 sioni. 



Da rilevarsi è, intanto, il fatto che una divergenza, per una ' data fun- 

 zione, si presenta come un gradiente, o come un gradiente cambiato di segno, 

 per la medesima, secondochè l'ordine di questa e quello della supplementare 



