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Invece, avremo 



2 



y m = J^cos 2n{Zx — s) cos 2n{s — 2y) di^ = 

 j fcos 2tiì3x — ds + j cos 2n{-òx + 2y — 2s) ds , 



Ora, si vede che il secondo integrale è nullo; dunque resta 



XX XX 



m n — 0 



""n m = j cos 2n {ox — 2y) , 



Si può osservare che i nuclei di classe {a , b) coincidono con quelli di 

 classe (—a, — b), e comprendono quelli di classe ag^bq ove q sia intero. 



Teorema II. — / nuclei di Evans di classe (1 , l) sono tutti permu- 

 tabili fra loro {teorema del prof. Volterra). 



Infatti, se in 



V = m[x — s) n{s — y) ds ; 



poniamo s=—t-{-y-\-x ; ds=—dl; i limiti superiore ed inferiore del- 

 l' integrale diventano rispettivamente — !-}-</ + aj e + Quindi risulta: 



m 7 = — \ m{x -^t — y — x) n{— l y -\- x — y) di = 



r 



n{x — t) m{l — y) di , 



j 'i-CC—l 



ed essendo \q n,m periodiche, e l'integrale esteso ad un intervallo d'am- 

 piezza eguale al periodo, sarà anche: 



m'^n = n{x — t) m{t — y) dt n m . 



Teorema III. — Bue nuclei di classe (1, -1) sono permutabili fra 

 loro, se sono ambedue funzioni pari, a ambedue funzioni dispari. 

 Infatti scriviamo 



r = l m{x + s) n{s + y) ds ; 



'■Jo 



