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e poniamo s = — o — a; — y ; avremo ds= - d(f , mentre i limiti supe- 

 riore ed inferiore dell' integrale diventano — 1 — x — p , — x~y. Quindi 



/-> — l-x-y 



m n = — I m{ — y — o) n{ — e — a;) da . 



E per le ipotesi fatte: 



m[ — y — 0-) = zìr m(or -f- y) , n{ — o" — x) = ± n{a -\- x) . 



Quindi, tenendo conto della periodicità: 



r^ — X—x—y 0 



ran— — (=t 1)= • n(x -f- o") m[(i + j/) (ic = — I n{x -\- a) m{o -f- y) da, 

 ed invertendo i limiti, 



m n = \ n{x -\- a) ■m{a -\- y)d(r = n m 



In modo analogo si dimostrerebbe il 



Teorema IV. — Se di due nuclei di classe (1 , — 1), uno è fun- 

 zione pari e l'altro funzione dispari, sarà 



XX XX XX X X 



m a = — m n . 



Si può anche enunciare il 



Teorema V. — Se il nucleo n è di classe (1 , — 1). ed il nucleo m 

 è di classe (1,1) ed è di classe pari, allora essi sono permutabili ; se 

 invece m è di classe dispari, allora 



XX X X X X XX 



m n = — n m . 



Infatti, basta porre 



s-=(S -\- X — y ; X — s = — (cr — «/) ; y s =■ x a 



ed operaie le solite trasformazioni nell' integrale. 



