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In una Nota successiva proverò che per n = 'à sono possibili soltanto 

 i due casi ricordati in principio, dovuti alle superficie del terz'ordine. 



Delle superficie che s'incontrano per «>3, e delle estensioni agli 

 iperspazii, spero di potermi occupare tra breve. 



1. Anzitutto si ha, com' è ovvio, 



kx = ny . 



Una seconda relazione tra i numeri x , y ,n , k si deduce dalle ipotesi 



(1) e (II). Infatti, per la (I), ognuna delle a; rette ne taglia altre k{n — 1), 

 situate ad n — 1 ad n — 1 sui k piani passanti per la retta. Considerando 

 poi uno qualunque degli y piani, per ciascuna delle sue n rette passano 

 altri k — 1 piani, ognuno dei quali contiene altre ri — 1 rette. Per la (II) 

 si ottengono così tutte le rette della configurazione, epperò 



(n — 1) . n{k 1) n = X . 

 Con questa e la precedente, risultano le due formole 



il) • x = nl{n-l){k—l) + l], 



(2) y--=-%[(>?— !)(/;- D + l]. 



I casi, in cui l'uno o l'altro dei numeri k , n ha il valore 1 o il va- 

 lore 2, si trattano subito, sia direttamente, sia col mezzo delle (1) e (2). 



Se k—1, segue x = n , y = 1, e la configuraziooe consta di un unico 

 piano e di un numero qualunque di rette tracciate su esso. 



Se /e = 2 , si ha x — , y — '2n , e la configurazione è formata da 

 due gruppi di n piani ciascuno, e dalle rette in cui i piani dell'uà 

 gruppo incontrano i piani dell'altro. 



Per n=l, si ha ^=1 . y = k, e la configurazione si riduce ad una 

 sola retta e ad un numero qualunque di piani passanti per essa. 



Se n = 2 , segue x = 2k , y = k^ : supposto k^ 2 per non ricadere 

 in casi precedenti, la configurazione consta di 2k generatrici di una super- 

 ficie del second'ordine, di cui k appartenenti all' una schiera e k all'altra, 

 e dei k^ piani che sono determinati dalle generatrici dell' un gruppo con 

 quelle dell'altro. 



Nel seguito potremo dunque supporre 



(3) ?2 ^ 3 , ^ >. 3 , epperò ^ ^ 15 , ?/ ^ 15 . 



2. Siano , (2i2 am le rette della configurazione contenute in 



un piano tt^ di questa. Per ciascuna di esse passano altri k — 1 piani della 



tanti una configurazione di quella natura, e si limita ad alcune proprietà relative soprat- 

 tutto a diversi aggruppamenti che si possono formare con le rette ed i piani della con- 

 figurazione. 



