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configurazione, sicché, contando anche tt, , si hanno in tutto n{k — 1)4-1 

 piani distinti della naedesima. Questo numero non può dunque superare yx. 

 ma non può nemmeno essergli eguale, perchè se si avesse 



n{k — l)-\-\^y, 



per la (2) seguirebbe l'assurdo 



(« — l)(/t— 1)^ < 0. 



Ciò significa che, se si fìssa un piano qualunque della configurasione, 

 esiste qualche altro piano di essa che non ha in comune col printo alcuna 

 retta della configurazione. 



Sia Tii uno dei piani non secanti in una retta della configurazione,, 

 e siano «21 , «02 , ... , «2„ le sue rette. Per la proprietà (II), ognuna di queste 

 deve secare una delle rette di ni. Se ad esempio ^21 incontra «n, la an 

 non potrà essa pure incontrare «n 7 altrimenti «u, secando (per ipotesi, in 

 punti distinti) due rette di tt, , sarebbe comune ai piani rii e n^. Si può 

 dunque supporre ad es. che , «22 , ... , taglino risp. aii , a^ , ... , am- 



Per la proprietà (I), i piani 



di = a^i az\ , o"» (ai2 a^ì , ... , On ^= o-m o-in 



appartengono alla configurazione, quindi ciascuno contiene altre n — 2 rette 

 di essa, che diremo ordinatamente 



1 O-w ? • • • ? (i'rw \ 

 Ctsi 1 ^42 , . . . , a„2 ', 



Gsn 1 Oàìì 5 • • • 1 ann • 



Tutte queste rette sono distinte tra loro e dalle precedenti contenute 

 in TTi e TTg. Infatti, in primo luogo, se per es. a^i coincidesse con «22, i 

 piani TTa e 0"! , avendo in comune anche la retta «21 . coinciderebbero, quindi 

 TT, e 712 avrebbero in comune la retta an. In secondo luogo, se p. es. «31 

 e «32 fossero una medesima retta, questa, tagliando an e ^121 giacerebbe 

 su JTi , e tagliando «21 e «22, giacerebbe su /rg, sicché jtj e 712 si taglie- 

 rebbero in una retta della configurazione. 



Dico inoltre che, fissati due qualunque dei piani ffi , (X^ a„ , ognuna 



delle n — 2 nuove rette ottenute suU' uno taglia una (sola) delle n — 2 

 nuove rette ottenute sull'altro. Ad es. la deve incontrare una delle «32, 

 «42 , ,am- Infatti, in caso contrario, per la proprietà (II), essa taglierebbe 

 o"2 0 su «12 0 su (222, P- es. su (3!i2- Ma allora «3,, tagliando pure On, 

 starebbe sul piano tt, , quindi coinciderebbe con una delle «13 , a^, ... , «m v 

 ciò che dimostrammo assurdo. Non può poi accadere che «31 incontri due 



