Tenendo poi conto che negli n — 2 gruppi 



un 



Ogni retta di ciascun gruppo deve incontrare una (sola) retta di ogni altro 

 gruppo, risulta che i passaggi della superficie per le rette di questi gruppi 

 importano altre condizioni al più risp in numero di 



Sommando tutti i numeri trovati, risulta che il numero delle condi- 

 zioni imposte è al più 



Ma è chiaro che il sistema lineare di superficie cosi determinato non 

 può avere dimensione superiore all'unità, quindi è un fascio. 



Se ora fissiamo una qualunque delle rette della configurazione escluse 

 dal quadro (4), per la proprietà (II) essa incontra n rette di questo quadro, 

 situate ad una ad una sui piani e, , cr, , ... , cr„ . Perciò esiste nel fascio 

 precedente una ed una sola superficie che passa anche per quella retta; 

 ed è facile verificare, tenendo conto della proprietà (II), che alla superficie 

 appartengono anche le rimanenti rette della configurazione. 



Che la superficie non possa decomporsi in altre due P'.P", di ordini 

 ?^' , ra" (con n! -\- TU' = n) . si desume da ciò, che in caso contrario ad es. «n 

 apparterrebbe ad F' e non ad F". Ma allora anche a^i , 0-31 , ... , ff„i , tagliando 

 «11 e non le altre rette «i? , «13 , ... , (5!i„ del piano tti , giacerebbero su F', 

 il che è assurdo. 



La superficie, finalmente, non è rigata: chè, in tal caso, delle n rette 

 contenute in uno qualunque degli piani, una almeno sarebbe una diret- 

 trice, e la superficie si spezzerebbe. 



5. Il teorema del num. precedente conduce facilmente (') ad un limite 

 superiore di ricordando (^) che una superficie d'ordine n non può conte- 



(1) Cfr. Affolter, primo lavoro citato, pag. 283. 



(2) Clebsch, Zur Theorie der algebraischen Flàchen, Giorn. di Creile, Bd. 58 (1861), 

 pag. 106. Cfr. pure Salmoii-Piedler, Anal. Geometrie des Raumes, II Theil, 3^ edizione, 

 Leipzig, 1880, pag. 634. 



(^_3) + (^-4)+ .. + l = ('' 2 

 (^-4) + (^~4)4-... + l = (^''~^), 



