Dalle (23') . (24') , (25') , (26') si scorge che, nel sottocaso a), la U si 

 comporta come se fosse una funzione scalare. 



[Per dare un esempio semplice che servac ontemporaneamente di veri- 

 fica per qualcuna delle formule precedenti, supponiamo che U, V siano due 

 bivettori, nel trivettore ordinario ijk, di cui nell'es. 2, e); e si abbia 



(28) \i = u.jk-\-v.ki-\-iv.ìj , V = X.y^ + Y./fci-l-Z.«y. 



Sia poi O. = X . i -\~ y .j -r- s .k un vettore rispetto al quale si voglia 

 r hamiltoniano del prodotto UV. Nel caso presente è: g — 2,, 



o''=l, T=2, r'=l, Q — \ , q' = 2; per cui è pure : a -\-t q' = 

 = 2-1-2 + 2 = 2.8 = 2(4+1), conforme alla (27) a dritta. Ne segue 

 che la formula (24') è da applicarsi; e si avrà: 



(29) Vn(DV) = VnU.V + U.VaV. 



Ora VaU = — ^n.y-jk — V^'^-ki — Vn^-ij-' secondo la formula 

 (19) della Npr. perchè q' -\- ff n -\- l , e ( — 1)P"= — 1. Inoltre, poiché 

 (— !)??' = + !, è pure [cfr. forni. (12) della NIl]: ' 



(30) ^^"^^ 1^ + ^ 1-^ +^ 1^ P^^" « = 2^'^>«'; 



da cui, visto essere \ i=jk , \j = ki , \k = '/j\ e 



(81) ,jk .ki = — ki . jk = k , ij -jk = — jk . ij = j , ki . ij = — ij . ki = i- 



segue, per An » l espressione 



e per Vn V l'espressione analoga 



Se indichiamo provvisoriamente con A,B,C i coefficienti di i,j ,k 

 nella (32) e con D , E , F i coefficienti analoghi nella (83) e teniamo pre- 

 sente pure che i\i = \i .i = \ , j\j = \j.j=l, k\k=\k.k = l , tro- 

 viamo 



VnU.V = AX + BY + CZ , U.vV = MD + yE + z^;F , 

 e quindi 



(34) Vxi (UV) = AX + BY + CZ + «D w¥ . 



Se ora facciamo il prodotto UV, pel quale saranno tenute presenti, 

 le (31), troviamo 



m = (vZ~wY)i-{-{ioX~~uZ)j-\-{uY — vX)k; 



