In questa Nota espongo una formula atta a definire un valore prin- 

 'Cipale che soddisfi le coudizioni imposte. 



L'operando f(x) sia funzione di variabile reale, data nel campo ( — oo, 

 -f- e integrabile (nel senso di Lebesgue) in ogni intervallo finito, salvo 

 aggiuDgere, di volta in volta, le condizioni opportuno affinchè le formule 

 che si applicano convergano ed i passaggi siano leciti. 



Per n negativo assumerò, come valore principale, quello dato dalla 

 formula 



che si ricaverebbe da quella di Letnikof precisando a;o = — oo; per n=0 

 porrò identicamente 



per n positivo eguale a ( — m +N), dove N è il minimo intero non infe- 

 riore ad n , assumerò infine 



Queste formule sodo indipendenti da sviluppi particolari di f{x) in 

 serie o sotto altra forma. Quando i secondi membri non convergono, ma 

 sono indeterminati, si dirà che la rispettiva D" (valore principale) non 

 esiste; la convergenza della (1) per n^l sì ha quando la f{x) è integra- 

 bile in ogni intervallo finito e si annulla inoltre di ordine sufficiente per 

 - X = — oo; per la (3) occorre la derivabilità, una o più volte, ma, se n<^l, 

 basta una condizione meno restrittiva. Si rileverà facilmente, per confronto 

 con quello che accade quando n è intero, che queste restrizioni non rappre- 

 sentano nulla di artificioso che sia dovuto a peculiarità della formula scelta 

 (ciò che avviene invece quando f{x) viene sviluppato in serie di Fourier, 

 0 di Taylor, etc, e il D" si definisce operando termine a termine). 



Prima di verificare se le formule qui preposte soddisfano alle condizioni 

 volute, esporrò due lemini. 



Lemma I. — Supponiamo note le funzioni Gi , Ga integrabili, anche 

 in valore assoluto (esse ed i loro quadrati) e fra limiti infiniti, tali che 



(1) 



(2) 



DY{^)-/(^); 



risulti convergente. Ciò posto consideriamo l' integrale doppio 



Eendiconti. 1916, Voi. XXV, 2° Sc-m. 



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