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Terza condizione. — D" si riduca alla derivazione e integrazione 

 ordinaria per 7i intero. 



Per il caso della derivazione ciò è evidente: basta dunque verificare 

 per n negativo. 



Si ha dalla formula: 



D-/(rr) = ii^;^ /■(?) rfi: = A?) 



D'V(-) =£ ni) =£ ^ di : 



eseguiamo un'integrazione per parti, assumendo {x — I) come fattore finito 



ri 



e f{6)dd come fattore diiferenziale. Avremo: 



•J—OO 



r {x-^) /(I) ds = \~[x - ^) r m ddì~^+ fj r V(e) de \ dff'^'^ 



f'' {x — /(f ) d^= 0 + f" ^iff P f{d) de ; 



in modo analogo si verificano i successivi casi. 



Quarta condizione. — • D*^, definito c. s., sia operazione distribu- 

 tiva, cioè valga la relazione 



T>"{a(p -{- bxp) = aD"(f -\- bD^'ip ; 



questa proprietà si ricava subito dalla struttura della formula data. 

 Quinta condizione • — Resta l'ultima condizione 



D"-^"/!^) = D'"D"/(cc) . 



I Caso: indici entrambi negativi — m , — n. — Noi pos- 

 siamo scrivere 



D-D-v(^)= ^ ^ j., ne) de 



J-oo r{m) J_oo r{n) 



e, per il lemma li, 



D-V(a;) = f G3(a; — e) f{e) dd , 



^'-00 



dove 



J_oo r r w 



