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Poniamo xy = ^' 



Ora 



e quindi 



aegue che 



^ ' J„ r{m) r{>i) 



G, (.5?) = — ^- — ^{m , n) . 



r{m) r{n) 

 ^^"^ • ^ r(m + n) ' 



G3U) = 



' J_oo r{m-i-n) 



come dovevasi dimostrare. 



I] Caso: il primo indice positivo intero N, l' altro ne- 

 g a t i V 0 q u a 1 11 n q n e — m . — Pai tiamo dalla formula (3) ; avremo subito 



f{x — s)ds 1^= — oo,s= + oo 



ponendo x — ? = s 



reo gm-l 



j). D-'-/-(^-) = J^" - s) ds = D-™ ^-f{x) . ' ^= ^ ' ^ = 0 



Quest'ultimo passaggio è lecito sotto condizioni latissime per f(x), purché, 

 naturalmente, resti sottinteso che r{x) esista. Si dovrà infatti richiedere 

 che l'ultima formula possa essere integrata (fra limiti finiti) sotto il segno 

 integrale. Condizione sufficiente, non necessaria, è la convergenza dell'inte- 

 grale 



e altre condizioni meno restrittive che si possono enunciare in base 

 noti criterii. 



