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Corollario UT. — Se nella (1) il nucleo n é della forma n{x-\-y). 

 il nucleo risolvente è della forma 



+ ;'/) + rì{x — y). 



Ed infatti, i nuclei iterati di ordine dispari, cioè le potenze dispari di 

 composizione, per il Corollario I, sono della forma f{x-\-'y), mentre le po- 

 tenze pari sono della forma f{x — y). Quindi il nucleo risolvente si spezza 

 in due parti: una contenente tutte le potenze pari, l'altra contenente tutte 

 quelle dispari; e resta così stabilito il corollario. 



Dalla (1) segue intanto che se la f{x) è funzione periodica a pe- 

 riodo 1, e la n è un nucleo di Evans, anche la 9) è periodica ed a periodo 1 ; 

 infatti, si ha 



cf{x^-\) + l r«(^ + 1,2/) (fiy) dy = /(x + 1) 



0 



(p{x)-\-l n{oc . y) (f'y) dy= f{x) . 



<-'o 



Per la periodicità di n, n{x -\- \ , y] ^ n{x , y) \ quindi 

 (2) cp{x + \)~-q>{x) = f{x^l) — f{x), - 



per cui da f{.x + 1) = f{x) segue (p{x 1) = (f{x) . 



Più generalmente ancora, se n{x,y) = n{ax — by) , sarà 



Dalla (2) ne segue che, in particolare, se f{x) = 0 [cioè se la (1) di- 

 venta l'equazione omogenea], la soluzione, esistendo, deve essere periodica 



a periodo - . 



^ a 



Se la f{x) non è a periodo 1, noi potremo sempre definire una funzione 

 periodica f,{x), eguale ad f{x) nell'intervallo (0,1). Allora la funzione (p 

 corrispondente sarà eguale alla g> nell'intervallo (0,1), e sarà periodica: 

 la è poi legata ad essa, per valori esterni a quell'intervallo, dalla (2). 



È possibile assegnare a priori gli autovalori e le autofunzioni dei nu- 

 clei di Evans di classe (1 , =!=1). 



