2. Infatti, se n{2) è \m nucleo di Evans, noi potrenao (nell'ipotesi abituale 

 'Che sia sommabile e di quadrato sommabile) porre 



.n{s;) = ofj -f- 2^ cos (2 71 r i) -{- ^ sen (2 n rx) [g z= ax — by) . 



Abbiamo visto che la soluzione dell'equazione omogenea, se esiste, è 

 -anche essa periodica a periodo 1. Quindi, sotto ipotesi poco restrittive, abbiamo 



00 00 



(p{x) = yo _y cos (2 TT r -|- y| sen {^nrx) ., 



■da cui 



yo-\-y_yr cos {271 rx) -{-^dr sen {2nrx) -\- 



X 



] «0 + y c<r cos 27r r{ax — b§) -\- Y §r sen 27i r{ax — b^) 



'(3) X I 4- y /r cos 271 J -|- ^ dr sen 2/7 f = 0 . 



Sviluppando il prodotto sotto segno di integrale, si trovano, oltre il ter- 

 'mine «o , termini del tipo 



\ ar(iO?>2nr{ax — è^) • cos 27rsJ 

 I cos 27cr {ax — b^) ■ Ss sen 27is^ 

 I ^rsen 27ir{ax — fé) • cos 27rs^ 

 ( sen 27rr {ax — b§) -,0^ sen 27rs^ . 



Questi, per note formole di trigonometria, diventano 

 Y a-r Ys [cos 27r {rax — {rb — s) ?) + cos 27i {rax — {rb + s) ^)] 



7^ ^ interi 



I «^(JoTsen 27r(rtì!^ — (rè — s)^) — sen2^(rfl;a; — {rb-\-s)^)] . . 

 ^ positivi ar- 



\ §r Ys [sen 27i: {rax — {rb — s) ^) + sen 27i (rax — {rb -f- s) ^)] bitrarì. 

 I /S^ [ — cos 2n {rax — {rb — «)?) + cos 27t {rax — {rb + s) ?)] 



Integrando rispetto a ^ fra i limiti 0 ed 1, e tenuto conto della perio- 

 dicità delle funzioni, si vede che tali termini dànno come risultato 0, se 

 , {rb — s) ed {rb -\- s) sono diversi da zero. 



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