Epperò, considerando le a , come assegnate, eie y,à come incognite, 

 sarà sempre 



LYo = 0 se (l +Aa,)=hO 



( qualunque se (1 -)- Aa») = 0 



ed inoltre yr 



0, se 



1 + ^«r 



1 -^^ 



+ 0; 



mentre, se = 0 , - «^r potranno essere diversi da zero. 

 Quindi, per i nuclei di Evans di classe (l,rt:l), vale il 

 Teorema VI. — Sviluppato il nucleo n{x ± y) in serie di Fourier, 



ed indicati con , a,. , §r i suoi coefficienti di Fourier, gli autovalori 



sono le radici delle equazioni di secondo grado 



\ D^(A) = 0 



(r^ 1) 



Le autofunzioni sono poi combinazioni lineari del seno e del coseno 

 di 2 TT /"i a; , 2 TT r2 ce , . . . ove 



Dr.(^) = D,J>l)=-.=0. 



Se il nucleo non fosse di classe (1 , — 1), ma di classe {a . b) ove però 

 fli=|=rtè, allora dal suo sviluppo in serie trigonometrica, e da quello dei 

 suoi iterati — i quali sono rispettivamente delle classi 



la^ h^X là^ b^\ 



si deduce che tutte le tracce dei nuclei iterati sono nulle, se è nulla la 

 costante «o ; oppure sono legate dalla relazione 



np = t<o . ; 7i\ — «0 ! ^p ^ 



il che implica che il nucleo non ha altri autovalori che l-)-/lao = 0, 

 ed altre autofunzioni che q = cost . 



Nel caso, infine, che fosse a = ± b, la discussione procederebbe in modo 

 del tutto analogo a quella del nucleo di classe (l,=tl); basta considerare 



che il nucleo ni e la funzione <p avranno il periodo ^ , per ridursi, mediante 

 la trasformazione x' = ax , y' = ay , X' = - , al nucleo di classe (1 , rt 1). 



