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6. Se si avessero invece delle equazioui di prima specie 



^{«^ . I/) y>{y) dy = f{x) 



si trova, come prima condizione necessaria per la risolubilità, che la f{x) 

 sia periodica, a periodo l. Quindi, adottando il solito sviluppo in serie, ne 

 segue che deve essere 



«0 Xo + T ^ ("»■ ys =f= i^r '^s) cos 2nrax -\- 

 1 



00 



-{- 1 y (zt ós -\- t'ir fs) sen Inrax = f{x) = -f" 

 1 



-j- y «p cos 2 Ti: p ,r -f- ^ 0p sen 2,7iqx s = \rb\ 



Ciò obbliga «0 , 6p ad essere nulli se non è q multiplo di a, mentre 



si ha 



«0 Xo = «0 



r = l,2,... 



s = I rè I 

 q= ra 



ove per semplicità negli indici si è segnato s invece di \rb\, q invece di ra. 



Si vede che il determinante dei coefficienti di , (Js , coefficiente del 

 Fourier della (p, cioè 



§r — - I 



è sempre eguale a zt |- • («* -j- /5f ) : ed è quindi diverso da zero, a meno che 

 non siano nulli e ^r- Nel primo caso, dati e Sp ; e (J^ restano fìs- 

 sati in modo unico; e se f o , 6^ sono nulli (il che avviene sempre che q non 

 sia multiplo di a), saranno nulli anche y q S. 



Nel secondo, invece, fp e dp dovranno essere eguali a zero; e ys^èg po- 

 tranno invece essere qualunque. 



Quindi, fra le y^ e le dg, sono arbitrari: 



quelli aventi l' indice s non multiplo di b : 



quelli aventi l' indice s = \rb\^ se si ha = §r = ^ - 



Sono fissati in modo unico: 



quelli aventi l'indice s = \rb\, se al.-\- 0 . 



La funzione /", a sua volta, dovrà avere nulli tutti i coefficienti di 

 Fourier il cui indice non è multiplo di a, e quelli per cui «^ = /9^ = 0. 



