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Ma la differenza tra parentesi non è altro che la discontimiità che prova 

 grad (f attraverso e ; dunque 



[grad 9)] X (/P = 0 . 



Poiché ogni dY è normale a 11, ne consegue 



(5) [gradg)] = mn, 



essendo m un numero funzione di P. Questo m rappresenta manifestamente 

 la discontinuità della derivata normale di (f (cioè di grad <f X n). Si con- 

 clude: se attraverso a il gradiente d'una f anziane continua è discontinuo, 

 la discontinuità in ogni -punto P è rappresentata da un vettore parallelo 

 alla normale in P e di grandezza e segno uguale alla discontinuità della 

 derivata normale. Perciò la discontinuità di questa derivata definisce la 

 discontinuità di ogni altra derivata prima in qualsiasi direzione. 



2° caso. La y è discontinua attraverso e. Allora la (4) dà 



^[9»] = (grada 9)2 — gradaci) X d? 

 = (grad (fi — grad (p{)Xd?. 



Ma ricordando che in questo caso si ha (con manifesto significato dei 

 simboli) 



grad (fi = lim gradM^ (f , grad ^, == lim gradii, (f , 



Ma=P M,=P 



si deduce che la ditferenza tra parentesi rappresenta la discontinuità di 

 grad (fi attraverso e. Dunque 



d[_(p'] = [grad yj^XdV. 



D'altra parte 



ù![9)] = grad<;[9.]X dP; 



per conseguenza 



\ [grad cp] — grad, [(p'][XdP = 0. 

 Poiché ogni è normale a u, si trae 



(6) [grad (p^ = grad, [^] + w n , 



ove m ha il signilicato precedente. Si conclude: Se una funzione è discon- 

 tinua attraverso a (discontinuità variabile con P), anche il suo gradiente 

 è discontinuo; e la discontinuità è uguale al gradiente superficiale della 

 discontinuità della funzione {vettore tangenziale) più un vettore normale 

 a ff di grandezza e segno uguale alla discontinuità della derivata normale. 

 Perciò la discontinuità della funzione e di questa derivata definiscono la 

 discontinuità d'ogni altra prima derivata in qualsiasi direzione. 



