Seguiamo questa via che, del resto, ci procura altre informazioni, e ci 

 mette in evidenza la portata dei termini additivi che si presentano nelle 

 formule (3) e (4) precedenti quando è applicabile il teorema di E. Miiller. 

 Supponiamo che si abbia 



, U=U..F, + U..F, + ..- + U,.F, 

 V = V,.G, + V,.G.H \-Yr.Gr, 



ove le Fft , Uh(/2 = 1 , 2 , ... , ^) hanno il significato dato innanzi, e , V/, 

 per A = 1 , 2 , ... , r significato analogo; vale a dire siano Gi , 6-2 , ... , Gr 



ordinate come le 



le formazioni e,:, ■■• ei^ j^^ = 1 , 2 r 



E?j , F;ì , e siano V, , Vj , ... . funzioni scalari delle £0i , «2 , ... , <»„ . 

 b) Indicando con W il prodotto UV, cioè ponendo 



(7) W = UV==(g,.F, + U2.F2 + -+U,.P,)(Vi.G. + V2.G, + - + V,.G.) 



= UiV,.P,G,H |-UftV,.F,G,H f-U,V,.F,G., 



si vede che sono a distinguersi, relativamente ad esso, i casi seguenti : 



1° caso: G -\- z <^n -\- \. In tal caso il prodotto generico F^Gs è 

 nullo se le due permutazioni ht ... ha , ki kz ... kt hanno dei termini co- 

 muni;, non lo è, e rappresenta una formazione semplice d'ordine g-\-t, se 

 sono formate di numeri tutti distinti. Per esaminare quanti prodotti F^ Gs 

 non sono nulli, basterà esaminare in quanti modi si può associare un gruppo a 

 dei numeri 1 , 2 ,...,«-}- 1 con un gruppo t dei rimanenti, e ciò dà luogo ad 



<«) rt^)("+i-°)=("t')r+M 



modi; ovvero ad esaminare in quanti modi è possibile togliere dal gruppo 

 dei numeri 1 , 2 , ... , w -}- 1 , un gruppo di n -\- \ — a — r, ed associarlo 

 eoa un gruppo dei rimanenti presi r a t; e ciò dà luogo ad 



modi. [Si noti, frattanto, la identità delle espressioni che figurano nelle 



(8) , (9)]. Se osserviamo che vi sono ^) prodotti del tipo P^ G^ che 



contengono le medesime unità fondamentali, distribuite nell'ordine medesimo 

 nel quale si trovano in P^ e G^, ne coneludiamo che il prodotto UV 

 contiene 



