ed allora, indicando con ^m-h la che moltiplica la Gs conispondente 

 alla ki ... k^ complementare della A, ìiì ... h„ , possiamo scrivere la W 

 nella forma 



W = U, V,_, + U2 H h V, ; 



e quindi : 



h—m 



Vn(UV)= ^(VnUft. V„_„+ U,,.VaU,„_,) 



(12) 



Gn (UV) = ^ (Gn U, . V^_„ + U;. . Gn V«-.) • 

 /i=i 



S'' caso: e ■i^ > + 1. In questo caso i prodotti del tipo Ph-Gs 

 nei quali il numero delle unità fondamentali comuni ad e G^ supera la 

 differenza x fi'a- + '^^ ed -j- ''^ (poniamo % = o" + — -n — 1), sono nulli 

 perchè allora le formazioni semplici F/j e G;, appartengono ad una medesima 

 altra formazione semplice di ordine almeno n (sono spazi a e — 1 ed a 

 z — 1 dimensioni contenuti entrambi in uno stesso spazio ad n — 1 dimen- 

 sioni) ; e sono, invece, prodotti regressivi, non nulli, tutti quelli pei quali 

 le unità comuni ad F/, ed a Gft sono soltanto % ; siffatti prodotti non nulli 



sono quindi in numero di^ ' )~y 



formarne uno (ci riferiamo ai soli indici h , k) basta prendere, tra i numeri 

 1 , 2 , ... , ?2 -|- 1 , nn gruppo di associarlo ad un gruppo di — % preso 

 fra i rimanenti, in guisa che il prodotto totale costituisca una permutazione 

 principale di classe e , e poi associarlo di nuovo al gruppo dei t — % nu- 

 meri residuali, pure in guisa che questo secondo gruppo costituisca una per- 

 mutazione principale di classe t dei numeri 1 ,2 n . 



Questo procedimento mette subito in rilievo che di prodotti F/j.Gs 

 aventi uno stesso gruppo x di unità fondamentali comuni ve ne sono 



„ _ / '^H-l - /\ _ + 1 — /\ _ + 1 — %\ . 



epperò, se si indicano con A'^' , A'^' , ... , A'f*' e con /t" ' , k'-'-'' , ... , k'-f-'' rispet- 

 tivamente tutte le h e tutte le k corrispondenti a tali gruppi, e semplice- 

 mente con hk il gruppo comune, potremo scrivere la W nella forma 



(13) w = V Q_ 1 )^'-^?. u,c) y,co H h (- 1)'""'' u,(i^> v,(,u)] M,, 



hk 



quando con i]s (s = 1 , 2 , ... , ^a) si indica il numero delle inversioni che 

 vengono a generarsi in h'-^'' col portare in ultimo posto i numeri del gruppo hk , 

 e con (5 = 132,..., ,u) si indichi l'analogo numero generato in /ì;'-' col 

 portare ri gruppo hk in primo posto; e quando con M;;; si indichi lo X'Spi- 



