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 Infatti, per le coudizioni di biortogonalità 



si trae 



i \ h ■ 



"re* {x y) = y «H 1_ (Ph{x) tph{y) 



i \ h 



"jri^xy) = Z <(^y (ph{x) xphiy)) ; 



e moltiplicando queste equazioni rispettivamente per ai , , ... Um, e som- 

 mando, si ha 



y (n) = y /■(«.) • {y_ <pn{x) My)) = 0 , 

 poiché /■(«,) = 0 . 



Noi, in questa Nota, dimostreremo che solamente le funzioni della 

 forma (2) soddisfano all'equazione scritta, nel caso che l'equazione alge- 

 brica (3) sia a radici distinte (e che quindi a, =j= 0) . 



Nel caso che la (3) abbia radici coincidenti, la (2) non è più la forma 

 generale della soluzione. 



Incidentalmente avremo un teorema sui determinanti. 



Per fli = — \ . dm = l , a-i ■ ■ ■ == dm-i = 0 si ritrova l'equazione del 

 Daniele, che a sua volta, per = 2 diventa quella trattata da Lalesco. 



La (1) rientra come caso particolare della 



XX XX XX XX XX XX 



^o(*i 4- «i) w + + «2) H + «m) = 0 , 



in cui le b sieno permutabili fra loro. In altre Note ci occuperemo dapprima 

 del caso che le radici della (8) non sieno tutte distinte, e poi del caso piti 

 generale. Il metodo che seguiremo mi sembra completamente nuovo. 



2. Notiamo che la (1) si può scrivere anche, nell' ipotesi che am = l, 



XXXX XXXX XX XX 



(4) f{n) = n{n— a) (11 — ^)... (n — a*) , 



ove le a sono le radici dell'equazione algebrica (3). 



Ora, poi che possiamo porre: 



XXXX XX (xxxx XX ) 



/• = 0 = (?2 — a) j w [in— §) {n — y) . . .] j 



