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cioè, 



xxxx xxxx xxxx 



f^^n)-U{n) = f,{§)-f,{n); 

 e reciprocamente, moltiplicando le (5) per le a", avremo; 



xxxx X X K ; 



ma, si vede che: 

 quindi, avremo: 



oppure anche: 



A(/5) = A(«) = 0; 



xxxx xxxx 



A [n) ■f,{n) = 0, 



gi -^2 = 0 = .(72 ^, 



cioè i nuclei gi devono essere ortogonali, pur essendo ciascuno di essi 

 della forma (9); il che è possibile solo se, avendo posto: 



gi = 2g^'s{x) xp'siy) 



g, = 2y>':{x)^':{y), 



sieno le (f" ortogonali a tutte le tp\ e le <p' tutte le ortogonali alle xj)" . 

 Ossia le <p' ,(p" V''» V" formano ancora due sistemi biortogonali. 

 In modo identico, si otterrebbero le equazioni; 



xxxx xxxx xxxx XX xxxx XX XX XX 



(10) /3 {n) ■ U {n) = C/s (?^) , . . . U-x {n) f^.,{n) = M f^.,{n) 



xxxxxxxx 



Si deduce quindi che, dette . . . ; «/^, . . . le funzioni di due sistemi 

 biortogonali, avremo: 



I A In) = a[n + a', "u' H 1- y»-' =A^-f (fi{x) xpiiy) 



! Y-2 in) = arn-\- afn' -\ 1- a':,_,^n^-' = B • f <ip,-(^) tp,{y) 



(11) 



Epperò avremo : 



AA' BA" ^ 



i Za 1 ZA p-t-i 



ove A è il determinante delle al , ... ; ed Al'"' sono i complementi algebrici 

 degli elementi della prima colonna. 



