E, senza calcoli, si vede subito che le «t, devono necessariamente coin-. 

 cidere con una delle radici della (2); poiché sarà 



^n"- = 2g>i (a:) fi (y) a? ; ... ; '^if^ = 2 9., (a;) (y) aT , 

 e quindi, moltiplicando rispettivamente per le a e sommando: 



Y(n) = 0=2 ifAx) fi{y) fiat) 

 che non può essere soddisfatta altrimenti che ponendo 



/■(«0 = 0. (^ = 1,2,...) 



5. Quindi riassumendo: 



La soluzione generale delU equazione 



XX^X XX XX 



/■ = ai ?2 -|- «e + • ■ • -f- C„i = 0 , 



nell'ipotesi che l'equazione algebrica 



m = aa + a,^' ^«^^'" = 0 



abbia tutte le radici semplici, è data da 



h 



ove le g>,f, formano un sistema di funzioni hiortogonali, e le sono 

 radici della equazione algebrica scritta (che chiameremo equazione carat- 

 teristica). 



6. Notiamo intìne che per risolvere il sistema (11) si poteva usare il 

 seguente artificio. Consideriamo il sistema 



a\ ^ + aU2 + --- + a:,_,J-> = A 



«r ? + ■ + ai_, r"-' = 0 



=0 



il quale è soddisfatto da 'S.=a, poiché i membri sinistri sono rispettivamente 



ed inoltre 



