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Pei- k = l la configurazione si riduce ad un unico piano ed a tre sue 

 rette ; per k = 2 essa consta di due terne di piani e delle nove rette in 

 cui i piani dell'una terna incontrano i piani dell'altra. 



Nel seguito potremo dunque supporre 



(3) /t >L 3 , epperò >. 15 , t/ >l 15 . 



2. Ciò posto, se (2i , «2 , «3 sono tre delle x rette situate in un piano a. 

 per ciascuna di esse passano altri k — 1 degli y piani, cosicché, compreso a. 

 si hanno in tutto 3{k — 1)4-1) ossia Sk — 2 piani. Questo numero, cer- 

 tamente non superiore ad y, non è neanche eguale ad y, altrimenti per 

 la (2) avremmo l'assurdo {k — 1)*< 0. 



Pertanto, fissato il piano a , esiste nella configurazione qualche altro 

 piano che non lo incontra in nessuna delle sue tre rette. Sia /? un tal piano, 

 e siano bi , b^, , bz le sue tre rette. Per la proprietà (II), la retta bi incontra 

 a in un punto che si può supporre appartenere ad ai . La retta b^ incontra 

 similmente a in un punto di una delle sue tre rette; ma non può incon- 

 trare «1 , altrimenti a e fi avrebbero in comune ai : possiamo supporre che 

 02 tagli «2; e allora bs taglierà «3. 



Siano e, ,Cì , Cz le rette poste ulteriormente nei piani ai bi ,aibt, a^ b^ : 

 dico che sono distinte dalle sei rette precedenti e distinte tra loro, e che 

 si tagliano a due a due. 



Anzitutto, se Ci coincidesse per es. con aj, la retta az coinciderebbe 

 con bx , sicché a e si taglierebbe^) in una delle x rette. 



In secondo luogo, se ad es. coincidesse con Ci , questa, secando ai 

 e «2, coinciderebbe con a,, e secando ^1 e èj, coinciderebbe con èg, donde 

 l'assurdo di poc'anzi. 



Per dimostrare infine che ad es. e, taglia (?2, basta osservare che Cx 

 taglia il piano a» bi d in un punto di una di queste tre rette. Ma non 

 taglia fflj, altrimenti, tagliando già ai , coinciderebbe con a^, e non taglia b^, 

 perché, tagliando già bi , coinciderebbe con bz . 



Le tre nuove rette Ci , Ct , Cz stanno quindi in un medesimo piano; 

 cosicché, formando il quadro 





ai ttt 



az 





bi bi 



bz 





Ci Ct 



Cz 



si ha la proprietà che due delle nove rette si tagliano quando e soltanta 

 quando figurano in una stessa linea orizzontale 0 verticale. 



È chiaro che, se il quadro (4) si considera come la matrice di un de- 

 terminante, ogni altra retta della configurazione incontra tre delle nove 

 rette del quadro, appartenenti ad un termine del determinante. 



