6. Riassumendo, abbiamo dimostrato che nelle ipotesi ammesse sono pos- 

 sibili due soli casi: 



= 3 , epperò x = lò , = 15 ; 

 k = ò , epperò a — 27 , y = ih . 



Nell'uno e nell'altro, le x rette della configurazione appartengono ad una 

 (sola) superfìcie del terzo ordine, irriducibile e non rigata. Infatti le nove 

 rette del quadro (4) formano la base di un fascio di superficie cubiche, 

 determinato dalle due terne di piani contenenti le rette delle righe orizzon- 

 tali e verticali del quadro stesso. Poiché M?'* si appoggia a tre delle nove 

 rette, esiste nel fascio una superficie P, ed una sola, che contiene é^^*, e 

 ad P appartengono anche tutte le rimanenti rette della configurazione, poiché 

 ciascuna ha con P piìi di tre punti comuni. Che P sia irriducibile e non 

 rigata, è evidente. 



7. È facile, nel primo caso, trovare le rimanenti dodici rette di F, e 

 riconoscere che costituiscono una bissestupla. 



Intanto osserviamo che i cinque piani della configurazione diversi dai 

 dieci compresi nello schema (5), il quale si riduce ora ai soli due primi 

 quadri, sono i seguenti: 



di cui gli ultimi quattro figurano nei gruppi (7), (8), (9) e (10). 

 Ora consideriamo ad es. le due terne di rette 



(11) 4^' 4"^. , 4"^iV. . 



le quali sono generatrici d' uno stesso iperboloide, appartenenti a schiere 

 diverse. Com' è noto ('), esistono su P due. e due sole, bissestuple 



qt q^c'ÌH'i^f, ' q[ q', q', c'i' b'^U\ 



contenenti le sei rette (11). Le dodici rette Pi , qi ,p'i , q'i , evidentemente 

 distinte dalle (11), sono anche distinte da quelle del quadro (4), poiché non 

 incontrano alcuna retta dell'una o dell'altra delle due terne (11). Ora si 

 sa (^) che le sei rette della prima bissestupla non comuni alla seconda, e 



(') H. SchrOter, Nachweis der 27 Geraden auf der allgemeinen Oberflàche drilter 

 Ordnung, Giorn. di Creile, Bd. 62 (1863), pag. 277; E. Sturm, Synthetische Untersu- 

 chungen iiber Flàchen dritter Ordnung, Leipzig 1867, pag. 55. 



(^) Cremona, Teoremi stereometrici dai quali si deducono le proprietà delVesa- 

 grammo di Pascal, Mem. della R. Accad. dei Lincei, ser. 3*, voi. I (1877), pag. 854 

 (n. 43); Opere mat., tomo III, Milano 1917, pag. 422. 



Rkndiconti. 1916, Voi. XXV, 2' Sem. 



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