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Matematica. — Deduzione geometrica dei metodi di approS" 

 simazione delle radici reali di una equazione. Nota di Gustavo 

 Sannia, presentata dal Socio E. D'Ovidio. 



1 . Ad alcuni metodi di approssimazione delle radici reali di una equa- 

 zione reale 



(1) f{x) = 0 



si suol pervenire anche con considerazioni geometriche più o meno semplici; 

 queste però variano passando da un metodo all'altro. 



Scopo di questa Nota è di porre tutti i metodi di approssimazione 

 sotto una nuova ed unica veste geometrica, che è molto semplice ed ha 

 inoltre il vantaggio di condurre in modo affatto spontaneo ed intuitivo ad 

 una nota classificazione dei metodi stessi. 



2. Per fissare le idee supporremo di voler cercare metodi atti a fornire 

 successioni di numeri crescenti tendenti ad una radice reale r di (1), cono- 

 scendo un numero minore di r, tale che nell'intervallo (a©»^) 



zione f(x) sia continua e non si annulli che nell'estremo superiore r. 

 Geometricamente detto: la curva C di equazione cartesiana 



(2) y^fix) 



incontri l'asse delle x sul punto R di ascissa r; vogliamo cercare succes- 

 sioni di punti di questo asse 



(3) Ao , Al , A2 5 . • . 



elle si avvicinino ad R dalla sinistra (cfr. la figura) e tendano ad R (essendo 

 Ao il punto di ascissa a^). 



Se l'arco ?<, R di C è tutto contenuto nell'angolo AoRQo di 45°; ossia, 

 se ciascuna ordinata dell'arco PoR è positiva e minore della distansa 

 del suo piede dal punto R, allora, partendo dal punto A,, si ottiene una 

 delle suddette successioni (3) mediante la costruzione chiaramente indicata 

 nella figura, ove : ciascun punto A„ [n > 0) dista dal precedente A„_, di 

 f{an-\), cioè dell'ordinata della curva C corrispondente al punto A„_i . Ciò 

 è intuitivo. 



Del resto lo si vede subito osservando che le ascisse a^ , ax , a^ , . . - 

 di questi punti sono crescenti e non superiori ad r, e perciò tendono ad 

 un limite non maggiore di r; inoltre sono legate dalla relazione 



(4) 



fiffi Un—\ ~\~ fi^an—i) 



(«=■1,2,3,...) 



