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3. Nulla muta nel nostro ragionamento e nella conclusione se, in luogo 

 di applicare la costruzione suindicata giovandoci della curva C , ci serviamo 

 di qualsiasi altra curva C che soddisfi alle condizioni imposte a C, cioè 

 che sia dotata di tangente, che giaccia nell'angolo AjRQo e incontri il seg- 

 mento AflR nel solo estremo R . 



Le ordinate dei punti di C si possono pensare come dedotte da quelle 

 f{x) dei punti corrispondenti di C accorciandole o allungandole in mode» 

 opportuno, ossia moltiplicandole per un coefficiente g{x), funzione di a;, che 

 in («0 1 abbia il segno di /'{x), ammetta derivata g'{x) e non si annulli: 

 sicché l'equazione di C è 



(6) y = f{j ) g{.t) . 



Ne coneludiamo subito che: se g{x) è tale inoltre che 



(7) — i [/■(^■) ^a^)] < 0 per a,<x<r, 

 la formola ricorrente 



(8) «« = «n-l + /"(«n-l) .{/(«n_l) (/i = 1 , 2 , 3 , . . .) . 



fornisce un metodo di approssimazione della radice r dell'equazione (1). 



Così p. es., assumendo g{io) = — 1 : f'{x), si ritrova il classico metodo 

 di Newton. Geometricamente: applicare il metodo di Newton equivale ad 

 applicare la costruzione indicata nel n. 2 alla curva di equazione 



ossia alla curua C le cui ordinate sono le sottonormali cambiale di segno 

 della curva data (2). 



Otteniamo così una interpretazione geometrica diversa da quella ben nota. 

 4. Ad ogni curva C, ossia ad ogni funzione //(a;), corrisponde un metodo 

 di approssimazione per la radice r. 



Anzi, se prescindiamo dalle condizioni imposte ad f{x) e a g{x) per 

 conseguire la praticità dei risultati, si può dire che, variando C, si ottea- 

 gono tutti i metodi possibili. Perchè, data una successione a,, , a-^ , a^ . . . . 

 di numeri crescenti tendente ad r, e quindi una successione di punti come 

 la (3), noi possiamo immaginarla come dedotta applicando la costruzioue 

 data nel n. 2 ad una curva C che passi pel punto R e pei punti 



P„(a„ a„) (;a = 0 , 1 , 2 , ...ì 



e giaccia nell'angolo AoRQo- 



Fra tutti codesti infiniti metodi quello, per dir così, ideale si otterrebbe 

 assumendo come curva C la stessa retta RQo : perchè, applicando ad essa 



