la costruzione indicata nel n. 2, si cadrebbe addirittura nel punto R con 

 la prima operazione, cioè A, cadrebbe in R. Ma noi non sappiamo costruire 

 questa retta, perchè non conosciamo il punto R. 



È però intuitivo che nn metodo è tanto più conveniente quanto più 

 esso si avvicina al metodo ideale, ossia quanto meno la curva C differisce 

 dalla retta RQo in un intorno sinistro di R; e quindi che un metodo che 

 corrisponde ad una curva C tangente ad RQo in R, è più conveniente che 

 ogni altro metodo. È intuitivo inoltre che esso sarà tanto più conveniente 

 quanto più intimo sarà il contatto di C e RQo, ossia quanto maggiore 

 sarà l'ordine di questo contatto 



Se quest'ordine è diremo che k-\-l è il grado di approssimasione 

 del metodo stesso per la radice r. Per ciò è necessario e sufficiente che, 

 per .X = r , risulti 



Giungiamo così, con considerazioni geometriche intuitive, ad un con 

 cetto già noto ('). 



5. Con qualunque metodo, gli errori 



che si commettono fermandosi ai successivi valori approssimati in difetto 

 a, , fli , . . . di r, tendono a zero. 



Più precisamente: in un metodo che per la radice r ha il grado di 

 approssimazione k-\-\, tendono a zero i rapporti di ciascun errore alla 

 potenza, k-esima del precedente. 



Infatti, poiché per un tal metodo la curva C ha un contatto di or- 

 dine k con la tangente nel punto R, il segmento PnQ„ è infinitesimo di 

 ordine k rispetto a P„R o a 0„R, o infine a A„R (che sono dello stesso 

 ordine), sicché 



r 



= AoR , r — «1 = 



AjR , . . . , r — fl„R , . . . , 



ma 



quindi 



(') Cfr. E. Netto, Vorlesungen ùher Algebra, I B., pag. 300 (Leipzig 1890); oppure 

 Sehroeder, Ueber unendliche viele Algorithmen zur Auflósung der Gleichungen (Math. 

 Annalen, 2 B., 1870, pag. 317). 



