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poniamo ora v = cw, ove c denoti una costante positiva. Avremo: 



(e — 1)2 



{e — l)2m{ui — w) w -^^ - — - — -2mw^. 



Segue da questa formula che deve essere 



(4) 2m{ui — w)to—0, 



altrimenti noi potremmo prendere la costante c maggiore o minore dell'unità, 

 in modo che il primo membro risultasse positivo, e così prossima ad 1 che 

 il primo membro risultasse maggiore del secondo. 



Il movimento (w), come si è veduto, è im movimento possibile. Sia 

 pure {w') un movimeuto possibile. Esso dovrà verificare la condizione (/?), 

 espressa dalla formula (1) in cui si ponga u = to'. ln particolare, assu- 

 mendo come movimento {v) il movimento (w), si avrà 



2m{ui — w')w^ 0. 



Sottraelido questa disuguaglianza dall'equazione precedente, otteniamo: 



(5) 2m{w' — ^c)w>0. 

 Ora, dalla identità w' = w -\- {w' — w), si ricava 



2mw'' = 2mw^ -j- 2m{w' — wY -j- 2 2m{to' — u)}w . 



Per la formula (5) l'ultimo termine non è mai negativo; il penultimo, se 

 w e w' sono due movimenti distinti, è sempre positivo. Onde avremo: 



(6) 2mw'^ ^mw^ . 



Di qui vediamo intanto che non possono esservi due movimenti compa- 

 tibili coi vincoli, pei quali sia Q = (/. Essi sarebbero infatti movimenti 

 possibili (§ prec); e dovrebbero verificare tar.to la disuguaglianza (6), quanto 

 l'altra ottenuta scambiando fra loro {w) e {w'): ciò che è assurdo. 



La formula (6) mostra poi che se {ic) è il movimento per cui Q = g, 

 per ogni altro movimento possibile (dato che esista) la forza viva del. sistema 

 ha un valore maggiore. 



Possiamo raccogliere i risultati ottenuti nel seguente 

 Teorema I. — Fra i movimenti compatibili coi vincoli ve n è 

 uno solo che faccia assumere alla Q il suo valore minimo. Esso è un 

 movimento possibile; e fra i movimenti possibili è quello a cui corri- 

 sponde la minima forza viva del sistema. 



5. Torniamo alla formula (2). Supponiamo ora (abbandonando le pre- 

 cedenti ipotesi) che [w) sia un movimento possibile ed invertibile', (y) un 

 altro movimento qualunque compatibile coi vincoli. 



