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e la (!') diverrà 



u{z , t) = sen m{z -f- «) sen mt-\- b cos ot^^ , 



ossia la soluzione si ridurrà all'integrale particolare di Taylor della equa- 

 zione differenziale dalle corde vibranti. Noi vediamo dunque che, per passare 

 dal caso non ereditario al caso ereditario, basta sostituire alle trascendenti 

 intere trigonometriche sen e cos le nuove trascendenti intere Si(^|£c), 82(^1^) (')• 



5. Passiamo adesso all'equazione integro-differenziale (II). Posto ^© = 0, e 



u{s , t) = [Ae'"^ sen m[z + a) -f - Be"*"^ sen m{z + «')] f{t) 

 in cui A , B , w , a sono costanti, si trova 



quindi, a Q b essendo delle costanti, sarà 



f{t) = a Si(^|4m^) + b S2(^|4m^) . 



Otteniamo dunque la soluzione 



u{z , t) = e*»^ sen m{z -f a) [a S,(^|4m^) -[- è 82(^1 4to^)] + 



+ e-""' sen m{z + «) [a' Si(/ 1 4m^) + è' S2(^ 1 4w^)] , 



in cui a ib' sono nuove costanti. 



Combinando linearmente infinite soluzioni di questa natura otterremo 

 una serie come nel caso precedente. 



6. Se nella (III) poniamo 



u{x ,y ,z ,t) = v{x ,ì/ ,z) f{t), 

 nella ipotesi = 0» troviamo le equazioni 



(10) J^v + X^v^O 



(11) |f + \j{t) + ^J{t) ipit , T) = 0. 



I valori eccezionali di X per cui la (10) è soddisfatta dipendono, come 

 è ben noto, dalle condizioni al contorno. Essendo Xi uno di tali valori ecce- 



(^) Cfr. Sopra una proprietà generale delle equazioni integrali ed integro-diffe- 

 renziali. Eendic. R. Acc. dei Lincei, voi. XX, ser. 5% 2° sera. 1911. 



