— 10 — 



Cloe 



Se f{t) conservasse lo stesso segno nell' intervallo , il primo 



membro ed il secondo membro resulterebbero di segno contrario (se f{t) 

 non si annullasse in ambedue gli estremi), oppure il primo membro sarebbe 

 nullo senza che lo fosse il secondo (se f{t) si annullasse in ambedue gli 

 estremi, il che è assurdo. Dunque Y(^) deve cangiar segno nell'intervallo 



1^0,^^ e per conseguenza f{t) deve avere una radice nell' interno di questo 



intervallo. 



10. Supponiamo soddisfatta la condizione del ciclo chiuso; vogliamo ve- 

 dere se è possibile un moto periodico. Naturalmente dovremo ammettere che 

 la periodicità abbia luogo dal tempo — oo, ossia dovremo supporre nella (2) 

 il limite inferiore dell' integrale 1,^ — — oo ('). Essa quindi si scriverà 



(12) 



d'fjt) 



+ \j{t) + J_y(r) xp{t - r) t^r J = 0 . 



Per la validità delle formule si porrà 



M 



\'PÌ^)\<-Znr, (pera;>0), 



M ed £ essendo quantità positive. 

 La (12) può scriversi 



(12') 



df 



m + £ nt- x) xfj{x) d^r^ = 0 . 



Dimostreremo adesso il teorema: se 4'{x) è una funzione positiva de- 

 crescente, l'equazione precedente non ammette solusioni periodiche diverse 

 da sero. La possibilità quindi di moti periodici resta esclusa da questo 

 teorema, quando si ammetta che i coefficienti di eredità siano positivi e de- 

 crescenti. 



Supponiamo che l'equazione integro-differenziale (12') abbia una solu- 

 zione periodica, di periodo T, sviluppabile in serie di Fourier uniformemente 

 convergente insieme alle sue derivate prima e seconda. Avremo 



(13) m = V [.„ sen t) + b„ cos tjj , 



(') Cfr. la Nota: Sulle equazioni della elettrodinamica già citata, pag. 207, nota 1 

 a pie' di pagina. 



