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 nella quale si son fatte le posizioni: 

 Qi a 



L'equazione (B) ha ulBcio analogo a quello dell'equazione di frequenza 

 nel caso delle vibrazioni libere. Ad ogni radice Xn di essa corrisponde una 

 coppia di valori 



e quindi le due soluzioni semplici: 



j Un{r , t) =^ e^^'unir) 



Queste formule non definiscono una vibrazione normale, esse non soddisfano 

 invero la IV). Combiniamo due di questi moti semplici corrispondenti a 

 due diverse radici di (A) ponendo: 



C Umn{r ,i) = fin e^""' Um{r) — flm e'"^ Un{r) 

 (15) s 



( F„„(^) = firn fin{e 6'^"') . 



È allora evidente che si ha 



F«„(0) = 0 



e quindi pure la IV) è soddisfatta. 



Dimostriamo che la equazione (B) ha le radici complesse coniugate 

 con parte reale negativa. La semplice ispezione di questa equazione rivela 

 l'assenza di radici immaginarie pure, quindi tra le vibrazioni normali non 

 ve ne possono essere delle armoniche semplici. 



Si dimostra che l'equazione (B) nell'ipotesi ('): 



m <C np 



ha una sola radice reale negativa (questa dimostrazione sarà data in un 

 prossimo lavoro). La discussione diretta delle radici di (B) è malagevole, 

 benché si possa fare ricorrendo al noto metodo dei residui di Cauchy. Sta- 

 biliamo una relazione integrale tra le Um{r)- 



Sieno u{r , t) , P(^) ; Ui{r , t) , ¥i{t) due coppie di soluzioni delle I), II), 

 III). Con una integrazione per parti, dalla I) si ricava: 



. (16) Q P u, - inr' dr = {Tu, — T,u)r=^ ìttR^ , 



(') Questa ipotesi è la corrispondente della 

 fatta nel caso della lastra vibrante. 



