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dove T , Ti indicano le tensioni sulla sfere relative agli spostamenti u ,Ui. 

 La (16) può essere scritta direttamente come applicazione del teorema di 

 reciprocità. Tenendo conto della II) si ha allora: 



= 47rR[M>^R p;(0 — 47rR[Mi]^F(7) . 



Si ponga in essa: 



u = e'-^^ Unir) , Mi = e^'^^ Un{r) 

 F(0 = i««A' , Pi(0 = ^„A', 



A R yl R 



essendo , due radici di (B). Con facili riduzioni si ottiene: 

 a a 



-^(A^ — A-„) ) Urr^iyT) Un{r) ^nr^ dr = 



_ 47r (J^ (ì j ^ 



R ^m/ 0 



E posto: 



A«i =^ 



avremo : 



(18) ^ M^) ^«(^) + B ; in -l TI + 7 ; -l ; 



Se A„ A„ sono quanlità complesse coniugate, tali saranno pure fim fin ^UmUn- 

 Saranno quindi reali e positivi i prodotti 



La (18) dà allora: 



+ A„<0. 



E poiché Xm-\- In è il doppio della parte reale delle radici coniugate con- 

 siderate consegue che questa è negativa. 



Riassumendo otteniamo: se una sfera elastica vibra radialmente in 

 un fluido come vibrazione normale in essa possiamo assumere la seguente 



u{r , t) = e^" Um{r) — (in e'"'" Un{r) , 



nella quale le 



A« R 



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