zione dell'equazione = ^ » regolare entro il campo Ci<C.x<Cct, 



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li^u ^ 



la;' ~ l)t 



^o<C^<C'^) prende i valori f{x) per t = to,<Pi{t) per x=ei, e 

 9ì{t) per X — C2 (0> allora esiste una soluzione dell'equazione (3) {oppure 

 (4)), e solamente una, regolare entro lo stesso campo, che prenda rispetti- 

 vamente per t = tf), per x — Ci, e per x = d gli stessi valori f{x), 



<Pi{i) , g>i{t) {')■ 



2. L'equazione (4) si può evidentemente riscrivere nella forma 



1)U 



-\2„ ri 

 — — = B{t.t) u{x , t) — B{t , ^o) f{x) — B^it , t) u{x ,T)dT, 



dX Jt^ 



in cui con B2(^ , z) si indica la funzione ^^^^ ' . Per dimostrare il teo- 

 rema poniamo u = Uf,-\- u', in cui la u^ soddisfi alle condizioni seguenti : 



Uq{x , t) = u{x , t) per t ==t„, per x = Ci e per x = C2- 



Questa soluzione si trova facilmente per mezzo del teorema di Green, 

 ed è regolare dentro il campo Ci <^x <C , to<Ci<C'^ ■ Ne risulta che 

 la u soddisfa all'equazione 



(5) ^--VT = B(^,^){^^' + ^^oS- rB,{t,T)\u'{x,T) + u,{x,T)\dt. 



ài àX Jto • 



00 



Formiamo ora la serie S = ^ u„{x , t), in cui 



1 _ ^_u^ _ ^ ^^^^ _ r jj^^^ ^ nn-i{x , t) dr 



{ al ÒX Jtff 



' Un{x , = 0 per t — io, per x = Ci e per a; = t?2 . 



Abbiamo 



u 



n(^i , 0 == lim \ dx { g{x ,t\xi, ti) \ B{t , /) Un-i{x , t) — 



— r Bi{t , 0 u„-i{x , rf^' [ dt , 



(') Perchè esista una tale soluzione dell'equazione tt— = t~ è sufBciente, per es., 



che i valori qt>i(i) , f{t) , <Pa{t) formino una catena continua (per il problema al contorno 

 della equazione parabolica, ved. E. E. Levi, Annali di Mat., 1908). 



(') Lo stesso teorema vale anche per l'equazione L{u) = F{cc , t) , essendo ¥{x , t) 

 limitata e integrabile rispetto a / e a dentro il campo. Quest'ultima è l'equazione che 

 s'incontra supponendo che si abbia il caso statico fino al tempo t~to, e il caso dina- 

 mico dal tempo to in poi. 



