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in cui g{y,t\x,t), corrispondente alla funzione di Green per l'equazione 

 parabolica, resta in valore assoluto 



^a-{ — - — r^^^'-o, 



t/(^ - t) 



essendo a e b certe costanti. Quindi si vede facilmente che si ha: 



K{x,tmL per \,^^,^^^ 



e la S è uniformemente convergente in quel campo, e, come si vede dalla 

 ineguaglianza sopra scritta è soluzione dell'equazione (5). Ponendo u'=S, 

 avremo dunque che w = + ^' è una soluzione dell'equazione (3) che sod- 

 disfa alle condizioni specificate. 



Per dimostrare che questa soluzione è univocamente determinata, è suffi- 

 ciente dimostrare che m = 0 è la sola soluzione regolare dell'equazione 



^ - ^ = B(^ 0 u{t) - f B,(i , t) u{t) dT , 



oC oX J 



la quale s'annulli identicamente per t — t^^ per x=-- c^, e per x = Ci. 

 E infatti, applicando ancora il teorema di Green, abbiamo l' ineguaglianza 



\u[x , i)| ^ C per c, ^x^c^ . U^t^x. 



in cui C è una certa costante e w è un numero intero arbitrario. Ne segue 

 che u{x , i) si annulla dappertutto nel campo Ci = x ~Ci , t<^ = t . 



§ 2. — Equazioni relative. 

 3. L'equazione (4) è equivalente alla seguente 



purché non sia a = 0. Nel caso a = 0, questa equazione si riduce con una 

 integrazione per parti ad una forma analoga alla (4') : 



— ; = A{t , t) u(x , t) — , f{x) — A2(^ , %) u{x , t) rfr , 



òX Jto 



caso unidimensionale dell'equazione seguente: 

 (6') V^M = c{x , y , z , t) u{x ,s ,t)-\- 



+ \ G{t, t) u{x ,y,s,T)dt-\-V{x,y,s,t). 



