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Per questa equazione il problema al contorno si risolve in maniera completa 

 solamente per quegli spazi che sono abbastanza piccoli, mentre che per gli 

 spazi più grandi può avvenire in alcuni casi il fenomeno dell'oscillazione. 



4. Ma se nell'equazione (6') si ha c{x , y , z , t) = 0, ne ricaviamo la 

 equazione 



(7) V^u{x ,y,s,t)= ) C{i ,t) u{x ,y , z ,t) cLt -\- ,y,s,t), 



e di quest'ultima, nel caso del problema interno si dimostra facilmente, per 

 mezzo del teorema di tìreen, che esiste una soluzione regolare, e una sola- 

 mente, che prende valori arbitrari sopra una superficie chiusa, data nello 

 spazio X ,y ,2. 



5. Nello svolgimento eseguito queste equazioni integro-differenziali (3), 

 (6'), (7), si vede che sono ricondotte a certe equazioni differenziali per mezzo 

 di approssimazioni successive. In fondo questo procedimento non è altro che 

 ridurre ciascuna, per mezzo della soluzione di un'equazione puramente diffe- 

 renziale, a un'equazione puramente integrale. E infatti queste equazioni 

 integrali, una del tipo di Fredholm, e due del tipo di Volterra, si possono 

 immediatamente scrivere. 



§ 3. — Soluzioni particolari. 



6. In confronto con questi metodi di forma, che si può dire » chiusa " , 

 stanno quelli che sono basati su soluzioni particolari dell'equazione. Per 

 l'equazione (3) si ha immediatamente, o col metodo simbolico o direttamente, 

 che una soluzione particolare si può scrivere nella forma 



(8) u = B:{t) {a sen kx -\- b eoa kx) , 



in cui R(0 soddisfa all'equazione 



= — k' R{t) — Ck'Ait , t) R(t) dT , 



ossia 



K(^) = h — £V ^1 +£'mì' . ^) dt'^ R(t) dr . 

 La soluzione di questa equazione è U{t) = hVk{t). in cui 



P,{^) = 1 - J^' I _ A» (^1 + 'A{f , t) dt'^ I dv 



essendo conosciuta la | — k^ ^1 -\- k{t' , t) dt'^^ , funzione associata al 

 nucleo dell'equazione integrale per la R(^). Il prof. Volterra mi ha fatto 



