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Matematica. — Sull'equazione alle 'potenze. Nota del dottore 

 L. Orlando, presentata dal Corrisp. A. Di Legge ('). 



Un notevole studio del prof. M. Bottasso i^) mi ha richiamato in mente 

 alcune idee, che, pur avendo le apparenze di ordinarie esercitazioni d'algebra, 

 contengono tuttavia il germe di nuovi e felici svolgimenti. 



Sia 



(1) f{x) = aoX" -\- tti x"-^ -{- ■■■ -\- a„-i X ttn = 0 



un'equazione algebrica, ed i numeri Xi , X2 , ... , x„ siano le radici di questa 

 equazione. Consideriamo ancora il seguente polinomio 



(2) cpiy) = b,y^ + b, y^-' -\ h ^m-i y + b^, 



e chiamiamo «/i , 2/3 , ... ym le radici dell'equazione in y 



(3) 9(2/) = ^. 



Queste radici saranno funzioni algebriche della variabile x . considerata in- 

 dipendente da y. 



Formiamo ora la seguente funzione di x: 



(4) ¥{x) = f{y,)f{y,)...f{yr.). 



Essa è evidentemente una funzione razionale intera simmetrica delle radici 

 ?/i , </2 , ... , 2/m dell'equazione (3); dunque è una funzione razionale intera' 

 in a; . È facile determinarne le radici. 



Affinchè 'E{x) si annulli, è necessario e suflSciente che si annulli qual- 

 cuno dei termini f{yi) , f{yì) , ... , f{ym) del prodotto che figura nella for- 

 mula (4). Si richiede quindi ed è sufiìciente che sia 



(5) y^ = x^, 



dove (i % V rappresentano genericamente, senza obbligo di diversità, due 

 numeri delle rispettive serie 1 , 2 , 8 , ... , w ; 1 , 2 , ... , «. 



Dalla (5) si deduce (fiy^ = <p{xs) ; e allora, per intervento della (3), 

 possiamo scrivere 



(6) X = <p{x^) . 



È dunque necessario e sufBeiente che x verifichi la (6) affinchè P(a;) si 



(') Pervenuta all'Accademia il 28 giugno 1912. 



O Sull'equazione alle potenze di un'equazione secolare ecc. Atti del E. Istituto 

 Veneto, t. LXXI, parte 2» (1912). 



