annulli; ciò vale come dire che le radici di ¥{x) sono (f{xi),(f{x2),..., 

 (p{xn). Il prodotto iji y? :■ Pnr, che vale {bm — ^)", darà evidente- 



mente il termine di grado più alto in x che possa figurare in F(^'); dunque 

 il polinomio F(^') risulta di grado n in x. Non occupandoci in modo spe- 

 ciale del caso di radici multiple dell'equazione f{x) = 0 (e ce ne dà diritto 

 una considerazione molto frequente e molto semplice) noi veniamo senz"altro 

 a stabilire che l'equazione 



(7) P(^) ^ 0 



rappresenta una trasformata di Tschirnhausen dell'equazione (1); le sue 

 radici , ^2 , ... , ^„ sono legate colle dalla relazione generica 



(8) = ff>{x,) . 



Nel caso particolare (p{y) = y'^, noi otteniamo la cosiddetta equazione 

 alle potenze relativa all'equazione data. 



Per riferirci al lavoro del prof, Bottasso, consideriamo l'equazione 



(9) 



au 



«21 



X «12 



a%ì — X 



am 



«2)1 



an2 



X 



= 0, 



senza menomamente ammettere la simmetria, cioè il generico vincolo ars = a!,r- 

 Scriviamo a norma della formula (4), il relativo polinomio ^{x). Chiamando 



Q un valore di "]/ x , noi possiamo rappresentare ^{x) con /{q) /((>«) A?*^) ••• 

 f{qt"^~^) , purché £ rappresenti una radice primitiva w*"" dell'unità. Le fun- 

 zioni simmetriche (razionali intere) di q , qs , ... , ga'^-^ conducono ai coeffi- 

 cienti dell'equazione t/" — x = 0 , cioè a zero o ad x , il che facilita molto 

 l'esecuzione del prodotto in qyestione; ma alcune considerazioni teoriche 

 sulla composizione delle matrici ci lasciano pervenire ad una rapida e sem- 

 plice formazione del polinomio F(a^). 

 Consideriamo la sostituzione lineare 



T — Xi ^= a\\ X\ ""l" aii x^ ~|~ ■•■ ~|~ am Xn 



Xo ^= 6(21 Xi — j— «22 «^2 ~\~ "' ~\~ «2n 

 X,i = a„i X\ -j- «n2 -|- •■• -|- Unn 



ponendoci nell' ipotesi che il determinante differisca da zero. La T trasforma 

 le coordinate (non omogenee) di un punto F = {xi , Xt , ... , x») nelle coordi- 

 nate (non omogenee) di un punto P' = {x'i , x'z , ... , x'„). Se vogliamo che P 

 e P' siano allineati coll'origine, bisognerà che sia x't = Xxi , x'^ = Xx^ , ... , 

 x'n — Xxn, dove l dev'cssere una radice dell'equazione (9); ed, in quella 



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