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direzione invariante, le lunghezze OP subiranno l' allungamento unitario / . 

 Evidentemente l'applicazione della T*" conduce alle medesime direzioni in- 

 varianti, e l'allungamento sarà A*". Ciò prova che eseguendo (in modo op- 

 portuno) il prodotto di m determinanti J «jp ••• ««v , si ottiene un de- 

 terminante 2 kia. 1(2^ ... kn^ , tale che l'equazione 



ÌC\\ 00 k\2 • • • kin 



(10) 



finì 



knì 



knn *^ 



= 0 



ha come radici le potenze m"^^ delle radici dell'equazione (9). 

 Per esempio, dal determinante 



yi giunge (volendo l'equazione alle terze potenze) al determinante 



— 6 — x — 7 

 14 Ib — x 



(12) 



F{x) = 



Il determinante (11) ha le radici 1 ; 2 ; il determinante (12) ha per radici 

 le terze potenze 1 ; 8 . 



Nel caso del determinante nullo, la regola non varia; il che si vede 

 subito, se si considerano i due determinanti (9) e (10) come funzioni ra- 

 zionali intere delle variabili ars- 



Parrebbe, dal nostro ragionamento, che la potenza m"^" del determinante 

 2 z±: — «la «zpt ••• ««N dovesse eseguirsi in un modo speciale; ma l'osserva- 

 zione ben elementare che T e la trasposta hanno le stesse direzioni inva- 

 rianti ci svincola da questa pretesa precauzione. 



Riferendoci al prodotto degli m determinanti /(p) , /'(ps) , ... , /(^f*"-'), 

 noi vediamo che le radici q , , ... , qs"'-'^ dell'equazione y"^ = x lasciano 

 traccia soltanto nella combinazione x, che, a meno del segno, ne rappre- 

 senta il prodotto. Ciò risulta chiaro dalla teoria delle funzioni simmetriche ; 

 ma non era evidente a priori clie dai singoli termini del determinante pro- 

 dotto si potessero fare sparire le eventuali combinazioni non simmetriche. 

 Insistiamo su questo concetto, perchè, per esempio, a proposito del deter- 

 minante 



«0 



«1 







1 



X 



0 . 



. . 0 



0 



— 1 



X 



. . 0 



0 



0 



0 . 



. X 



le cose avvengono in modo alquanto diverso 



