Matematica. — Sulle superficie algebriche, del 5" ordine, 

 irriducibili, con un fascio ellittico di coniche. Nota di Eugenio 

 6. Togliatti, presentata dal Socio C. Segre {^). 



Il sig. De Franchis, in una breve Nota comparsa in questi Rendiconti (^), 

 enumera varie superficie algebriche del 5° oi'diue, irriducibili, contenenti un 

 fascio di coniche, 2, di genere 1: esse posseggono una linea doppia del 

 2° ordine, piana, irriducibile o no, per cui le loro sezioni piane generiche 

 hanno il genere 4; posseggono inoltre due punti tripli, distinti o coincidenti, 

 la cui congiungente, che sta sulla superiìcie, è per questa una retta semplice, 

 comune ai piani delle coniche. 



In una ricerca sulle superficie del 5° ordine, F^, con infinite coniche, 

 mi si presentarono, tra le F^ con un fascio ellittico di coniche, alcune su- 

 perficie che non rientrano tra le precedenti. Poiché tra esse ve ne son di 

 quelle che, a quanto mi sembra, non furono tuttora studiate, espongo, in 

 questa breve Nota, i principali risultati che ho ottenuto in proposito. 



1. Le F^ in questione hanno tutte tre rette doppie di^dz^dz, concor- 

 renti in un punto V. che sarà triplo per la superficie, dal momento che le 

 rette di^dì. dz non possono essere complanari ; ne segue che le sezioni piane 

 generiche di dette superficie haano il genere 3. Esse possono presentare due 

 casi ben distinti, per cui le ripartirò in due gruppi. 



Su quelle del 1° gruppo, i piani delle coniche del fascio 2 passano 

 tutti per un punto, 0, inviluppando un cono ellittico della classe, di 

 vertice 0. Il punto 0 non sta su alcuna delle rette di^d^.d^, ed è per 

 la F^ un tacnodo; il piano singolare nel punto 0 è toccato, in 0 stesso, 

 da tutte le coniche di 2, ciascuna delle quali, poi, è appoggiata a ognuna 

 delle rette di4h,dz in un punto variabile. Il piano di una conica § generica 

 di 2 sega ulteriormente la F^ in una cubica piana ellittica tangente a ^ in 0. 



Il tipo più generale si lia quando le 3 rette doppie sono distinte; esso 

 trovasi accennato in : Castelnuovo, Sulle superficie algebriche le cui sezioni 

 sono curve di genere tre. Atti Acc. Torino, 25 (1889-1890), pp. 697-715, 

 nota 4* al n. 10; ed in: Sisam^ Concerning Systems of Conics Lying on 

 Cubie Quartic and Quintic Surfaces. Amor. Journal, 30 (1908), pp. 99-116, 

 alla fine. 



Se ne può dare una generazione geometrica osservando che i coni qua- 

 drici del fascio avente per generatrici base le rette di,do,dz, VO, segano 



(') Pervenuta all'Accademia il 22 giugno 1912. 



(^) Le superficie irrazionali di 5" ordine con infinite coniche. Kend. Lincei, (5) 15 

 (1906a), pp. 284-286. 



