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Se allora diciamo A, , , ... i valori eceezionali del nucleo H(^ , x) ; 

 , Oi{x) , ... le funzioni eccezionali corrispondenti in modo che si abbia 



1>n{x) + r<t>„{^) m , ^) = 0 , 



le costanti A, , , ... sono tutte negative D: esse si possono ordinare in 

 una serie procedente secondo l'ordine crescente dei loro valori assoluti: e 

 ciò supposto, se, come avviene in generale, esse sono in numero infinito, 

 la successione Ai , A2 , ... , A„ , ... tende, al crescere di n, al limite — 00. 



Supponiamo ancora che sia data una funzione d{^) integrabile insieme 

 al suo quadrato in senso di Lebesgue nell'intervallo (01) ed una funzione 

 y(f , t) finita e continua sema eccezione, rispetto alla coppia di variabili x ,t 

 per O^x ^\ ,t^^t. 



Supponiamo scelto il numero M così grande che si abbia 



0 < a; ^ 1 ,to^t. 



Ciò stabilito, poniamo: 



(12) A„ == f T V?)<P.(^) H(| . jy) rf/ , B„(/)= rV(?,0'^'«(f)i^? 



(13) Qn{i) = ^ne + M 



?? = 1 , 2, ... 



Le funzioni Q«(f) sono funzioni di t, finite e continue per t:>^t^, deri- 

 vabili rispetto a colle derivate Qré(^) finite e continue per t^tg. 



Oggetto di questa Nota II è di mostrare che esiste una funzione v(a:J), 

 finita e continua, senza eccezione, rispetto alla coppia di variabili x , t ^ 



~òv 



per 0<.^<.l , to^t; derivabile rispetto a t (la derivata — essendo 

 una funzione integrabile parzialmente rispetto ad , in senso di Lebesgue, 



C) Infatti si ha 



f r'#o(f) ^o{x) H{f . x) f/f dx = — X^ I \*o(f))^ rff = — Ap , 



da cui, poiché il nucleo H(| , a;) è quasi definito segue: Ap:<-0. Ma Ap = 0 non può 

 essere, perchè si avrebbe allora *p(,r) = 0, onde è Ap^O. 



